Системы счисления

Системы счисления
© К.Ю. Поляков, 2007-2012
Тема 1. Введение

Определения
Система счисления – это способ записи чисел с помощью специальных знаков – цифр.
Числа:
123, 45678, 1010011, CXL
Цифры:
0, 1, 2, … I, V, X, L, …
Алфавит – это набор цифр. {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Типы систем счисления:
непозиционные – значение цифры не зависит от ее места (позиции) в записи числа;
позиционные – зависит…

Непозиционные системы
Унарная – одна цифра обозначает единицу (1 день,
1 камень, 1 баран, …)
Десятичная египетская система счисления:
– 1
– 10
– 100
– 1000
– 10000
– 100000
– 1000000
чёрта
хомут
верёвка
лотос
палец
лягушка
человек
= ?

Непозиционные системы
Римская система счисления:
I – 1 (палец),
V – 5 (раскрытая ладонь, 5 пальцев),
X – 10 (две ладони),
L – 50,
C – 100 (Centum),
D – 500 (Demimille),
M – 1000 (Mille)

Римская система счисления
Правила:
(обычно) не ставят больше трех
одинаковых цифр подряд
если младшая цифра (только одна!) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы (частично непозиционная!)
Примеры:
MDCXLIV =
1000
+ 500
+ 100
– 10
+ 50
– 1
+ 5
2389 = 2000 + 300 + 80 + 9
2389 = M M C C C L X X X I X
M M
CCC
LXXX
IX
= 1644

Примеры:
3768 =
2983 =
1452 =
1999 =

Римская система счисления
Недостатки:
для записи больших чисел (>3999) надо вводить новые знаки-цифры (V, X, L, C, D, M)
как записать дробные числа?
как выполнять арифметические действия:
CCCLIX + CLXXIV =?
Где используется:
номера глав в книгах:
обозначение веков: «Пираты XX века»
циферблат часов
номера месяцев

Славянская система счисления
алфавитная система счисления (непозиционная)
Часы Суздальского Кремля

Позиционные системы
Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа.
Десятичная система: первоначально – счет на пальцах
изобретена в Индии, заимствована арабами, завезена в Европу
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Основание (количество цифр): 10
3 7 8
2 1 0
разряды
8
70
300
= 3·102 + 7·101 + 8·100
Другие позиционные системы:
двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика)
двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов)
двадцатеричная (1 франк = 20 су)
шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)

Позиционные системы
Задача: в какой системе счисления число 58 записывается как «46x»? Определите основание системы счисления X.
в записи есть цифра 6, поэтому x > 6
переводим правую часть в десятичную систему
решаем уравнение
58 = 46x
1 0
58 = 46x
= 4·x1 + 6·x0
= 4·x + 6
58 = 4·x + 6
x = 13

Позиционные системы
Задача: найдите основание системы счисления, в которой выполняется равенство
в записи есть цифра 6, поэтому x > 6
переводим в десятичную систему
решаем уравнение
16x + 33x = 52x
x = 7
4·x + 9 = 5·x + 2
33x = 3·x + 3

Позиционные системы
Задача: перечислите через запятую все системы счисления, в которых выполняется неравенство
в записи есть цифра 3, поэтому x > 3
переводим в десятичную систему
решаем неравенство (перебор x = 4, 5, 6, …)
21x + 32x > 102x
x = 4,5
5·x + 3 > x2 + 2
32x = 3·x + 2

Позиционные системы
Задача: найдите наименьшее основание системы счисления, в которой запись числа 30 имеет 3 значащих разряда.
минимальное 3-разрядное число
максимальное 3-х разрядное число?
решаем неравенство
(перебор x = 2, 3, 4, …)
x = 4
100x
1000x-1
100x ≤ 30 ≤ 1000x-1
x2 ≤ 30 ≤ x3-1

Системы счисления
© К.Ю. Поляков, 2007-2012
Тема 2. Двоичная система счисления

Перевод целых чисел
Двоичная система:
Алфавит: 0, 1
Основание (количество цифр): 2
10 → 2
2 → 10
19
19 = 100112
система счисления
100112
4 3 2 1 0
разряды
= 1·24 + 0·23 + 0·22 + 1·21 + 1·20
= 16 + 2 + 1 = 19

Примеры:
131 =
79 =

Примеры:
1010112 =
1101102 =

Метод подбора
10 → 2
77 = 64 +
77
77
64
Разложение по степеням двойки:
77 = 26 + 23 + 22 + 20
+ 8 + …
+ 4 + …
+ 1
77 = 10011012
6 5 4 3 2 1 0
разряды
наибольшая степень двойки, которая меньше или равна заданному числу
77 = 1⋅26 + 0⋅25 + 0⋅24 + 1⋅23 +1⋅22 +0⋅21 + 1⋅ 20
13
13
5
1
5
1
8
4
1

Перевод дробных чисел
10 → 2
2 → 10
0,375 =
× 2
101,0112
2 1 0 -1 -2 -3
разряды
= 1·22 + 1·20 + 1·2-2 + 1·2-3
= 4 + 1 + 0,25 + 0,125 = 5,375
,750
0
0,75
× 2
,50
1
0,5
× 2
,0
1
0,7 = ?
0,7 = 0,101100110…
= 0,1(0110)2
Многие дробные числа нельзя представить в виде конечных двоичных дробей.
Для их точного хранения требуется бесконечное число разрядов.
Большинство дробных чисел хранится в памяти с ошибкой.
0,0112

Примеры:
0,625 =
3,875 =

Арифметические операции
сложение
вычитание
0+0=0 0+1=1
1+0=1 1+1=102
1 + 1 + 1 = 112
0-0=0 1-1=0
1-0=1 102-1=1
перенос
заем 1 0 1 1 02
+ 1 1 1 0 1 12
1
1
0
0
1
0
1
1
0
2
1 0 0 0 1 0 12
– 1 1 0 1 12
1
∙
∙
0 102
1
0
0 1 1 102
0
1
0
1
1
1

Примеры:

Примеры:

Арифметические операции
умножение
деление
1 0 1 0 12
× 1 0 12
1 0 1 0 12
+ 1 0 1 0 12
1 1 0 1 0 0 12
1 0 1 0 12
– 1 1 12
1 1 12
1
1 1 12
– 1 1 12
0

Плюсы и минусы двоичной системы
нужны устройства только с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.);
надежность и помехоустойчивость двоичных кодов
выполнение операций с двоичными числами для компьютера намного проще, чем с десятичными
двоичные числа имеют много разрядов;
запись числа в двоичной системе однородна, то есть содержит только нули и единицы; поэтому человеку сложно ее воспринимать.

Двоично-десятичная система
BCD = binary coded decimals (десятичные цифры в двоичном коде)
9024,19 = 1001 0000 0010 0100, 0001 1001BCD
9 0 2 4 , 1 9
1 0101 0011, 0111 1BCD =
0001 0101 0011, 0111 1000 BCD = 153,78
10 → BCD
BCD → 10
10101,1 BCD = 15,8
10101,1 2 = 16 + 4 + 1 + 0,5 = 21,5

Системы счисления
© К.Ю. Поляков, 2007-2012
Тема 3. Восьмеричная
система счисления

Восьмеричная система
Основание (количество цифр): 8
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
10 → 8
8 → 10
101
101 = 1458
система счисления
1458
2 1 0
разряды
= 1·82 + 4·81 + 5·80
= 64 + 32 + 5 = 101

Примеры:
134 =
75 =
1348 =
758 =

Таблица восьмеричных чисел

Перевод в двоичную и обратно
8
10
2
трудоемко
2 действия
8 = 23
17258 =
1 7 2 5
001
111
010
1012
{
{
{
{

Примеры:
34678 =
21488 =
73528 =
12318 =

Перевод из двоичной системы
10010111011112
Шаг 1. Разбить на триады, начиная справа:
001 001 011 101 1112
Шаг 2. Каждую триаду записать одной восьмеричной цифрой:
1
3
5
7
Ответ: 10010111011112 = 113578
001 001 011 101 1112
1

Примеры:
1011010100102 =
111111010112 =
11010110102 =

Арифметические операции
сложение
1 5 68
+ 6 6 28
1
1
6 + 2 = 8 = 8 + 0
5 + 6 + 1 = 12 = 8 + 4
1 + 6 + 1 = 8 = 8 + 0
1
1 в перенос
1 в перенос
1
08
0
4
1 в перенос

Пример

Арифметические операции
вычитание
4 5 68
– 2 7 78
∙
(6 + 8) – 7 = 7
(5 – 1 + 8) – 7 = 5
(4 – 1) – 2 = 1
∙
заем
78
1
5
заем

Примеры

Системы счисления
© К.Ю. Поляков, 2007-2012
Тема 4. Шестнадцатеричная система счисления

Шестнадцатеричная система
Основание (количество цифр): 16
Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,
10 → 16
16 → 10
107
107 = 6B16
система счисления
1C516
2 1 0
разряды
= 1·162 + 12·161 + 5·160
= 256 + 192 + 5 = 453
A,
10
B,
11
C,
12
D,
13
E,
14
F
15
B
C

Примеры:
171 =
206 =
1BC16 =
22B16 =

Таблица шестнадцатеричных чисел

Перевод в двоичную систему
16
10
2
трудоемко
2 действия
16 = 24
7F1A16 =
7 F 1 A
0111
{
{ 1111
0001
10102
{
{

Примеры:
C73B16 =
2FE116 =

Перевод из двоичной системы
10010111011112
Шаг 1. Разбить на тетрады, начиная справа:
0001 0010 1110 11112
Шаг 2. Каждую тетраду записать одной шестнадцатеричной цифрой:
0001 0010 1110 11112
1
2
E
F
Ответ: 10010111011112 = 12EF16

Примеры:
10101011010101102 =
1111001101111101012 =
1101101101011111102 =

Перевод в восьмеричную и обратно
трудоемко
3DEA16 =
11 1101 1110 10102
16
10
8
2
Шаг 1. Перевести в двоичную систему:
Шаг 2. Разбить на триады:
Шаг 3. Триада – одна восьмеричная цифра:
011 110 111 101 0102
3DEA16 = 367528

Примеры:
A3516 =
7658 =

Арифметические операции
сложение
A 5 B16
+ C 7 E16
1
1 6 D 916
10 5 11
+ 12 7 14
11+14=25=16+9
5+7+1=13=D16
10+12=22=16+6
1
1 в перенос
1 в перенос
13
9
6
1

Пример:
С В А16
+ A 5 916

Арифметические операции
вычитание
С 5 B16
– A 7 E16
заем
∙
1 D D16
12 5 11
– 10 7 14
∙
(11+16)–14=13=D16
(5 – 1)+16 – 7=13=D16
(12 – 1) – 10 = 1
заем
13
1
13

Пример:
1 В А16
– A 5 916

Системы счисления
© К.Ю. Поляков, 2007-2012
Тема 5. Другие системы счисления

Троичная уравновешенная система
Задача Баше:
Найти такой набор из 4 гирь, чтобы с их помощью на чашечках равноплечных весов можно было взвесить груз массой от 1 до 40 кг включительно. Гири можно располагать на любой чашке весов.

Троичная уравновешенная система
+ 1 гиря справа
0 гиря снята
– 1 гиря слева
Веса гирь:
1 кг, 3 кг, 9 кг, 27 кг
Пример:
27 кг + 9 кг + 3 кг + 1 кг = 40 кг
1 1 1 13ур =
Реализация:
ЭВМ «Сетунь», Н.П. Брусенцов (1958)
50 промышленных образцов
40