Системы счисления

– способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков (цифр).
– специальный язык, алфавитом которого являются символы, называемыми цифрами, а синтаксисом – правила, позволяющие однозначно сформировать запись чисел.
Система счисления

– возможность представления любого числа в рассматриваемом диапазоне величин;
– единственность представления (каждой комбинации символов должна соответствовать одна и только одна величина);
– простота оперирования с числами;
– краткость и простота записи чисел;
– легкость овладения системой.
Требования к системе счисления

Цифры – последовательность условных знаков для записи чисел.
Сокращенная запись числа:
A= an-1 an-2 ... ai ... a1 a0, a-1 a-2 ... a-m
Наиболее известна десятичная СС, в которой для записи чисел используются цифры 0,1,:,9.
Разряд – отдельная позиция в изображении числа. В числе A n+m разрядов.
Разрядность – число разрядов в записи числа. Разрядность совпадает с длиной числа.

Система счисления
Позиционная
Непозиционная
величина, которую обозначает цифра, не зависит от позиции цифры в записи числа
количественное значение каждой цифры зависит от её позиции в числе
Пример: арабская
Пример: римская

Уна́рная система счисления — положительная суммарная целочисленная система счисления с основанием, равным 1.
Запись числа:
где A(D) - запись числа A в системе счисления D;
D – основание системы счисления.
Непозиционная система счисления

Единичная система (непозиционная)
В древние времена, когда люди начали считать, появилась потребность в записи чисел. Первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-нибудь значков: насечек, черточек, точек.
Изучение археологами «записок» времен палеолита на кости, камне, дереве показало, что люди стремились группировать отметки по 3, 5, 7, 10 штук. Такая группировка облегчала счет. Люди учились считать не только единицами, но и тройками, пятерками и пр. Поскольку первым вычислительным инструментом у человека были пальцы, поэтому и счет чаще всего вели группами по 5 или по 10 предметов.
В дальнейшем свое название получили десяток десятков (сотня), десяток сотен (тысяча) и т. д. Такие узловые числа для удобства записи стали обозначать особыми значками — цифрами. Если при подсчете предметов их оказывалось 2 сотни, 5 десятков и еще 4 предмета, то при записи этой величины дважды повторяли знак сотни, пять раз — знак десятков и четыре раза знак единицы.
В таких системах счисления от положения знака в записи числа не зависит величина, которую он обозначает; поэтому они называются непозиционными системами счисления.
Непозиционными системами пользовались древние египтяне, греки, римляне и некоторые другие народы древности.

Система счисления древнего Египта
345
В древнеегипетской системе счисления, которая возникла во второй половине третьего тысячелетия до н.э., использовались специальные цифры для обозначения чисел 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106, 107. Числа в египетской системе счисления записывались как комбинации этих цифр, в которых каждая из них повторялась не более девяти раз.
В основе как палочной, так и древнеегипетской системы счисления лежал простой принцип сложения, согласно которому значение числа равно сумме значений цифр, участвующих в его записи. Учёные относят древнеегипетскую систему счисления к десятичной непозиционной.

Цифры майя
Другая система счисления основанная на позиционном принципе, возникла у индейцев майя, обитателей полуострова Юкатан ( Центральная Америка) в середине 1 – го тыс. н. э. У майя существовали две системы счисления: одна, напоминающая египетскую, употреблялась в повседневной жизни, другая – позиционная, с основанием 20 и особым знаком для нуля, применялась при календарных расчетах. Запись в этой системе, как и в нашей современной, носила абсолютный характер.

Вавилонская шестидесятиричная система счисления
Числа в этой системе счисления составлялись из знаков двух видов: прямой клин служил для обозначения единиц, а лежачий клин - для обозначения десятков. Для определения значения числа надо было изображение числа разбить на разряды справа налево.
Например: Число 32 записывали так:
Знаки прямой клин и лежачий клин служили цифрами в этой системе. Новый разряд начинался с появления прямого клина после лежачего, если рассматривать число справа налево. Число 60 снова обозначалось тем же прямым клином, что и 1, этим же знаком обозначались и числа 3600=602, 216000=603 и все другие степени 60. Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной. Значение числа определяли по значениям составляющих его цифр, но с учётом того, что цифры в каждом последующем разряде значили в 60 раз больше тех же цифр в предыдущем разряде.
Пример. Число 92=60+32 записывали так:
а т.к. 444=7*60+24, то число 444 в этой системе записи чисел имело вид

Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а число в целом - в позиционной системе с основанием 60.
Запись числа у вавилонян была неоднозначной, т.к. не существовало цифры для обозначения нуля. Запись числа 92, приведённая выше, могла обозначать не только 92=60+32, но и, например, 3632=3600+32. Для определения абсолютного значения числа требовались дополнительные сведения. Впоследствии вавилоняне ввели специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда
что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа.
Пример. Число 3632 теперь нужно было записывать так:
Но в конце числа этот символ обычно не ставился, т.е. этот символ всё же не был цифрой "ноль" в нашем понимании, и опять же требовались дополнительные сведения для того, чтобы отличить 1 от 60, от 3600 и т.д.
Таблицу умножения вавилоняне никогда не запоминали, т.к. это было практически невозможно. При вычислениях использовались готовые таблицы умножения.
Шестидесятеричная вавилонская система - первая известная нам система счисления, частично основанная на позиционном принципе.
Система вавилонян сыграла большую роль в развитии математики и астрономии, её следы сохранились и до наших дней. Так, мы до сих пор делим час на 60 минут, а минуту на 60 секунд. Следуя примеру вавилонян, мы и окружность делим на 360 частей (градусов).

Римская система счисления

Сначала записывается число тысяч, затем сотен, затем десятков и единиц.
Принцип сложения - если большая цифра стоит перед меньшей, то они добавляются;
Принцип вычитания - если меньшая стоит перед большей, то меньшая вычитается из большей.
Пример 1. Число 32 в римской системе счисления имеет вид XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2 (две группы первого вида).
Пример 2. Число 444, имеющее в своей десятичной записи 3 одинаковые цифры, в римской системе счисления будет записано в виде CDXLIV=(D-C)+(L-X)+(V-I)=400+40+4 (три группы второго вида).
Пример 3. Число 1974 в римской системе счисления будет иметь вид MCMLXXIV=M+(M-C)+L+(X+X)+(V-I)=1000+900+50+20+4 (наряду с группами обоих видов в формировании числа участвуют отдельные "цифры").
Задача: Записать десятичный эквивалент MMMCCLII
Римская система счисления

Кириллическая система счисления
Данная система счисления является алфавитной т.е. вместо цифр используются буквы алфавита. Данная система счисления применялась нашими предками и была достаточно сложной, т.к. использует в качестве цифр 27 букв

Кириллическая система счисления
Большие числа представлялись на основе данных чисел.

Вот некоторые числа записанные в славянской системе счисления
Данная система является непозиционной, т.е. число не зависит от последовательности цифр.
Кириллическая система счисления

Ясачная грамота

Существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел.
Невозможно представлять дробные и отрицательные числа, отсутствие нуля.
Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения.
Недостатки непозиционной системы счисления:

Основание - возводимое в степень целое число, равное количеству знаков или символов, используемых для изображения числа в данной системе счисления.
Основание показывает во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию.
Позиционная система счисления:

Базис – последовательность чисел, каждое из которых задает количественное значение или "вес" каждого разряда.
Десятичная система:100,101,102,103,104,...,10n, ...
Двоичная система: 20, 21, 22, 23, 24, ..., 2n, ...
Восьмеричная система: 80, 81, 82, 83, 84, ..., 8n, ...
Позиционная система счисления:

Алфавит - совокупность различных цифр, используемых для записи чисел. Количество цифр в алфавите равно основанию системы счисления.
Десятичная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Двоичная система: {0, 1}
Восьмеричная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Шестнадцатеричная система: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E,F}
Позиционная система счисления:

Развернутая форма представления числа:
Аq=±(an-1qn-1+an-2qn-2+...+a0q0+a-1q-1+a-2q-2+...+a-mq-m),
где А — само число,
q — основание системы счисления,
ai — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления,
n — число целых разрядов числа,
m — число дробных разрядов числа
Позиционная система счисления:

Значение цифры на любой i-й позиции:
aiqi,
где i – номер позиции в числе, q – основание системы счисления, ai – вес цифры i-го разряда.
Позиционная система счисления:

Свернутая форма представления числа:
А=±an-1an-2...a0,a-1a-2...a-m (q)
Название системы определяет ее основание q: десятичная, двоичная, восьмеричная и т.д.
Основанием системы счисления может быть любое число.
Возможно бесчисленное множество позиционных систем счисления.
Позиционная система счисления:

Наличие физических элементов, способных изобразить символы системы.
Экономичность системы, то есть количество элементов, необходимое для представления многоразрядных чисел.
Трудоемкость выполнение арифметических операций в ЭВМ.
Быстродействие вычислительных устройств.
Наличие формального математического аппарата для анализа и синтеза вычислительных устройств.
Удобство работы человека с машиной.
Наибольшая помехоустойчивость кодирования цифр на носителях информации.
Критерии выбора системы счисления для ЭВМ

Двоичная СС
База двоичной системы счисления использует для изображения чисел только две цифры: аi = {0,1}. Основание: p = 2(10) = 10(2). Каждый разряд двоичного числа называют битом.
Любое двоичное число, используя формулу (1.2) можно записать в развернутом виде. Если затем выполнить все арифметические действия, по правилам десятичной арифметики, то получим десятичное число, эквивалентное двоичному. Например,
110101,101(2) = 1·25 + 1·24 + 0·23 + 1·22 + 0·21 +1·20 + 1·2-1 + 0·2-2 +1·2-3 = 53,625(10).

Восьмеричная СС
Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления относятся к двоично-кодированным системам, когда основание системы счисления p представляет целую степень двойки:
p = 8 =23 - для восьмеричной,
p = 16 = 24 - для шестнадцатеричной.
База восьмеричной системы счисления использует для изображения чисел восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Основание p = 8(10) = 10(8). Если восьмеричное число записать в развернутом виде в виде суммы значений цифр и выполнить арифметические действия по правилам десятичной системы, то получим десятичный эквивалент восьмеричного числа. Например,
125,4(8) = 1·82 + 2·81 + 5·80 + 4·8-1 = 85,5(10).

Восьмеричная таблица сложения
Восьмеричная таблица умножения

Шестнадцатеричная СС
В шестнадцатеричной системе для записи чисел используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и прописные латинские буквы A, B, C, D, E, F, имеющие значение десятичных чисел 10, 11, 12, 13, 14, 15 соответственно. Поэтому шестнадцатеричное число может иметь, например, вид 3E5,C(16). Представляя это число в развернутом виде, получим
3E5,C(16) = 3·162 + 14·161 + 5·160 + 12·16-1.
Выполняя арифметические операции по правилам десятичной системы, получим: 3E5,C(16) = 560,75(10).

Шестнадцатеричная таблица сложения

Шестнадцатеричная таблица умножения

Рассмотрим пример арифметических операций с двоичными числами
Рассмотрим пример арифметических операций с 8-ричными и 16-ричными числами

Методы перевода чисел из одной СС в другую

Табличный метод
Пример 1.1. Перевести число A = 238(10) в двоичную систему счисления:
Решение. Подставив значение двоичных эквивалентов десятичных цифр и степеней основания, получим:
A = 238(10) = 2·102+3·101+8·100 = =0010·1100100+0011·1010+1000·0001 = = 11101110(2).
Ответ: 238(10) = 11101110(2).
Пример 1.2. Перевести двоичное число A = 11001,1(2) в десятичную систему счисления:
Решение: A = 1·16+ 1·8+0·4+0·2+1·1+1·0,5 = 25,5(10).
Ответ: A = 25,5(10).

Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую
Алгоритм перевода целых чисел из системы с основанием p в систему с основанием q:
Основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления.
Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.
Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.
Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.

1. Разделить исходное число A(p) на основание новой системы счисления, записанное в старой – q(p). Полученный остаток есть младшая цифра искомого числа.
2. Целую часть частного вновь разделить на основание новой системы счисления, записанное в старой – q(p). Остаток является очередной цифрой искомого числа.
3. Повторять п.2 до тех пор, пока целая часть частного не станет равной нулю.
4. Записать число в новой системе из остатков от деления, начиная с последнего.

При переводе из двоичной системы счисления в десятичную исходное число необходимо делить на основание новой системы 10(10) = 1010(2), выполняя действие в двоичной системе счисления:
Ответ: a0 = 1001(2) = 9(10); a1 = 11(2) = 3(10); a2 = 1.
A =10001011(2) =139(10).

Алгоритм перевода правильной дроби с основанием p в дробь с основанием q:
Основание новой системы счисления выразить цифрами исходной системы счисления и все последующие действия производить в исходной системе счисления.
Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или будет достигнута требуемая точность представления числа.
Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.
Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.
Перевод дробных чисел из одной системы счисления в другую

Умножить исходное число A(p) на основание новой системы счисления, записанное в старой – q(p). Целая часть произведения есть старшая цифра искомого числа.
Дробную часть произведения умножить на основание новой системы, записанное в старой – q(p). Целая часть полученного произведения является очередной цифрой искомого числа.
Повторять п.2 до тех пор, пока дробная часть произведения не окажется равной нулю или пока не будет получено достаточное количество значащих цифр нового числа.
Записать новое число из целых частей произведения, начиная с первой.

При переводе из двоичной системы в десятичную умножаем исходное число 0,1011(2 на 10(10) = 1010(2):
1 шаг: 0,1011•1010 = 110,1110(2); b 1=110(2) = 6(10);
2 шаг: 0,111•1010 = 1000,110(2); b-2=1000(2) = 8(10);
3 шаг: 0, 11•1010 = 111,10(2); b-3 = 111(2) = 7(10);
4 шаг: 0,1•1010 = 101,0(2); b-4 = 101(2) = 5(10).
Ответ: 0,1011(2) = 0,6875(10).

Перевод произвольных чисел, т.е. чисел, содержащих целую и дробную части, осуществляется в два этапа. Отдельно переводится целая часть, отдельно — дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой (точкой).
Перевод произвольных чисел

Пример 1.6. Перевести число A=139,6875(10) в двоичную систему счисления.
Решение.
а) При переводе из десятичной системы в двоичную последовательно делим исходное число на основание 2:
Запишем число в новой системе из остатков от деления, начиная с последнего.
Ответ:. 139(10)=10001011(2).
б) При переводе из десятичной системы в двоичную умножаем исходную дробь на 2
Ответ: 139,6875(10) = 10001011,1011(2).
Перевод произвольных чисел

Перевод чисел из системы счисления с основанием 2 в систему счисления с основанием 2n и обратно (Перевод в кратных системах счисления)
Системы счисления называются кратными, если их основание связаны соотношением вида:
q = pk,
где k – целое число.
Примерами кратных систем являются двоичная, восьмеричная и шестнадцатеричная системы:
23 = 8; 24 = 16.

Перевод целых чисел
Двоичное число разбить справа налево на группы по n цифр в каждой.
Если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов.
Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q= 2n.
Перевод чисел из системы счисления с основанием 2 в систему счисления с основанием 2n и обратно (кратных системах счисления)

Перевод дробных чисел:
Двоичное число разбить слева направо на группы по n цифр в каждой.
Если в последней правой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить справа нулями до нужного числа разрядов.
Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2n.
Перевод чисел в кратных системах счисления

Перевод чисел в кратных системах счисления
Рассмотрим перевод числа из системы счисления с основанием p в систему счисления с основанием q, причем p > q Для перевода необходимо каждую p-ичную цифру заменить k -.разрядным q-ичным числом. Например, при переводе восьмеричного числа 437,5(8) в двоичную систему счисления достаточно каждую цифру восьмеричного числа записать в виде двоичной триады, т. к. 8 = 23:
437,5(8) = 100 011 111 , 101(2).

Перевод чисел в кратных системах счисления
При переводе шестнадцатеричного числа F01,A(16) в двоичную систему счисления нужно каждую шестнадцатеричную цифру записать двоичной тетрадой, так как 16=24:
F01,A(16) = 1111 0000 0001, 1010(2).
В случае, когда основание исходной системы меньше основания новой системы (p < q), для перевода исходное число вправо и влево от запятой разбивается на группы по k разрядов в каждой, неполные группы (справа и слева) дополняются нулями. Затем каждая k-разрядная группа заменяется одной цифрой в новой системе счисления.

каждую цифру этого числа заменить ее n-значным эквивалентом в двоичной системе счисления.
Перевод чисел из систем счисления с основанием q=2n в двоичную систему.