Аналитическая геометрия. Прямая на плоскости

Прямая на плоскости

Определение. Уравнением линии на плоскости называется уравнение, которому удовлетворяют координаты и любой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.

Теорема. Всякое уравнение первой степени
где А и В не обращаются в нуль одновременно, представляет собой уравнение некоторой прямой линии на плоскости

Уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору

Введем следующие понятия. Вектор, перпендикулярный прямой будем называть нормалью прямой и обозначать Итак, .
Вектор, параллельный прямой, будем называть направляющим вектором этой прямой. Обозначим его

Тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси будем называть угловым коэффициентом этой прямой:
о
х
у

Пусть точка лежит на прямой. Точка -произвольная точка прямой.
.

Тогда скалярное произведение

Получили уравнение прямой, проходящей через заданную точку, перпендикулярно данному вектору:

Общее уравнение прямой
Из предыдущего уравнения легко получаем общее уравнение прямой

Каноническое уравнение прямой

Пусть и

Тогда из условия коллинеарности векторов
и получаем каноническое, т. е. простейшее уравнение прямой:

Пример
Написать уравнения прямых, проходящих через точку
параллельно и перпендикулярно вектору .
Первое уравнение и
второе .

Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть

Координаты этих векторов пропорциональны:
Получили уравнение прямой, проходящей через две точки.

Параметрические уравнения прямой
Приравняем обе части соотношения
к t. Получим параметрические уравнения прямой

Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Преобразуем уравнение
к виду

Обозначив
,
где ,
получим

Уравнение прямой ,проходящей через точку
Пусть точка лежит на прямой . Тогда
Вычтем из первого второе соотношение . Получим

Уравнение прямой в отрезках

Взаимное расположение прямых

Угол между двумя прямыми
Пусть две прямые заданы общими уравнениями

Тогда угол между этими прямыми равен углу между их нормалями , т. е.

Пусть даны прямые

Тогда

Условия параллельности
Прямые параллельны тогда и только тогда, когда выполняется одно из двух условий ( в зависимости от вида уравнений прямых).

Условие перпендикулярности

Расстояние от точки до прямой
Расстояние от точки до
прямой находят по
формуле .