Экстремум функции с единственной критической точкой

Максимум: - 3; 6
Минимум; 3
Возрастает: (-9;-3) и (3;6)
Убывает: (-3;3)
По графику производной функции определите, на каких промежутках функция возрастает, на каких убывает. Укажите точки максимума и минимума

По графику производной функции определите, на каких промежутках функция возрастает, на каких убывает.
y = f ´(х)

Ответ: 4

Ответ: 2

Ответ: 3

Ответ: 1

Внутреннюю точку х0 промежутка I, т. е. точку, принадлежащую интервалу (а; b), называют критической точкой функции f(x), если производная f'(x) в этой точке равна нулю или не существует. С другой стороны, если в точке х0 ∈ (а; b) функция достигает экстремума, то производная в этой точке равна нулю или не существует, т. е. точка х0 критическая.
Пусть на промежутке I с концами а и b определена функция f(x). Требуется найти ее локальные экстремумы на промежутке I.

Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке I вместе со своей производной f'(x). Рассмотрим случай, когда внутри промежутка I нет критических точек. Тогда производная f'(x) на интервале (а; Ь) должна иметь один и тот же знак, так как если бы в двух разных точках х1 и х2 интервала (а; Ь) производная f'(x) имела бы разные знаки, то вследствие ее непрерывности между точками х1 и х2 нашлась бы точка с, в которой f'(c) = 0, что невозможно, так как на интервале (а; Ь) нет критических точек.
Но если производная на всем интервале сохраняет один и тот же знак, то функция f (x) возрастает на промежутке I, если
f'(x) > 0, или убывает на промежутке I , если f'(x) < 0, т.е. функция f(x) строго монотонна на промежутке I.

Пусть теперь на промежутке I с концами а и b функция f(х) непрерывна вместе со своей производной f '(x) и на интервале (а; b) имеется единственная ее критическая точка . В этом случае промежуток I делится на два промежутка — один с концами а и , другой с концами и b .
Внутри этих промежутков критических точек нет. Поскольку точка — критическая, то в ней производная равна нулю.
Это возможно только в четырех случаях

Случай 1
На рисунке изображен график функции f (x), имеющий единственную критическую точку х0 на промежутке с концами а и b и в этой точке достигается минимум на промежутке с концами а и b. При этом f '(x) < 0 слева от точки х0, т. е. на интервале (а; х0), и f '(x) > 0 справа от точки х0, т. е. на интервале (х0; b).

Случай 2
На рисунке изображен график функции f (x), которая в точке х0 достигает максимума на всём промежутке с концами а и b, при
этом f '(x) > 0 слева от точки х0 и f '(x) <0 справа от неё.

Случаи 3 и 4.
На рисунках изображены графики функций, у которых в точке х0 нет ни максимума, ни минимума

Утверждение 1
Пусть на промежутке I с концами а и b функция f(x) непрерывна вместе со своей производной f '(x) и - единственная точка на интервале (а; b), в которой
f '(x)=0. Тогда если на интервале (а; b) найдутся точки х1 и х2 , такие, что < < и:
а) f '( ) > 0, f '( ) < 0, то в точке функция f(x) достигает своего максимума на промежутке I ;
б) f '( ) < 0, f '( ) > 0, то в точке функция f(x)
достигает своего минимума на промежутке I.
Этот экстремум единственный.

Утверждение 2
Пусть на промежутке I с концами а и b функция f(x) непрерывна со своей своими первой и второй производными и - единственная точка на интервале (а; b), в которой f '(x)=0. Тогда:
а) если f ''( ) > 0, то точка есть точка минимума функции f (х) на промежутке I;
б) если f ''( ) < 0, то точка есть точка максимума функции f (х) на промежутке I.