Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

a
b
a
b
Предположим, что функция f
не имеет на отрезке [а; b] критических точек.
Тогда она возрастает (рис. 1) или убывает (рис. 2) на этом отрезке.
Значит,
наибольшее и наименьшее значения функции f на отрезке [а; b] — это значения в концах а и b.
функция возрастает
функция убывает

a
b
a
b
Пусть теперь функция f имеет на отрезке [а; b] конечное число критических точек.
Наибольшее и наименьшее значения функция f может принимать в критических точках функции или в точках а и b.
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, имеющей на отрезке конечное число критических точек, нужно вычислить значения функции во всех критических точках и на концах отрезка, а затем из полученных чисел выбрать наибольшее и наименьшее.
Примеры

Найдите наименьшее значение функции
y = x3 – 27x на отрезке [0; 4]
1) y / = 3x2 – 27
2) y / = 3x2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)
3) y(0) = 0
1.

Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 27x на отрезке [0; 4]
Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
Выбрать наименьшее из полученных значений.
1) y(0) = 0
2) y / = 3x2 – 27 = 3(x2 – 9) = 3(x – 3)(x + 3)
Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.
Выполнение этапов решения можно изменить, как вам удобно.

Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
Выбрать наибольшее из полученных значений.
1) y(0) = 4
2) y / = 3x2 – 3 = 3(x2 – 1) = 3(x – 1)(x + 1)
Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.
Найдите наибольшее значение функции y = x3 – 3x + 4
на отрезке [– 2; 0]
2.

Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
Выбрать наименьшее из полученных значений.
1) y(1) = 1 – 2 + 1 + 3 = 3
y(4) = 43– 2 42 + 4 + 3 = 39
2) y / = 3x2 – 4x + 1=
y(1) = 3
Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.
Найдите наименьшее значение функции y = x3 – 2x2 + x +3
на отрезке [ 1; 4 ]
3.
3x2 – 4x + 1 = 0
D=16–4*3*1=4

Найдите наибольшее значение функции
на отрезке [ -3; 3 ]
4.
Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
Выбрать наибольшее из
полученных значений.
y(-3) = 11
Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.
y(-3) = -25

Найдите наибольшее значение функции
на отрезке [ 1; 9 ]
5.
Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
Выбрать наибольшее из
полученных значений.
Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.

Найдите наименьшее значение функции
на отрезке [ 1; 9 ]
6.
Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
Выбрать наименьшее из
полученных значений.
Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.

Найдите наименьшее значение функции
на отрезке [-10; 1 ]
7.
Найдем критические точки, которые принадлежат заданному отрезку.
Выбрать наименьшее из
полученных значений.
Значения функции в критических точках, которые принадлежат заданному отрезку.