Объём прямой призмы

Алчинов И.О.
Виды призм:
Прямая призма
Наклонная призма

Алчинов И.О.
1. В прямой призме боковые рёбра перпендикулярны плоскости основания.
2. Боковыми гранями являются прямоугольники.
Треугольная
призма
Четырехугольная призма
Шестиугольная призма

Алчинов И.О.
1. В наклонной призме боковые рёбра не перпендикулярны плоскости основания.
2. Боковыми гранями являются параллелограммами.
Треугольная
призма
Четырехугольная призма
Шестиугольная призма

Алчинов И.О.
В основании правильной призмы лежит правильный многоугольник

Алчинов И.О.
Диагональ призмы — это отрезок, который соединяет две вершины, не принадлежащие одной грани.

Алчинов И.О.
Диагональное сечение призмы — это сечение плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащие одной грани.

Алчинов И.О.
У шестиугольной призмы диагонали бывают двух видов — короткие и длинные.
В связи с этим существуют два вида диагональных сечений шестиугольной призмы.

Алчинов И.О.

Алчинов И.О.
Важные формулы нахождения площади n-угольников

Алчинов И.О.
Формула нахождения площади правильного шестиугольника
Правильный шестиугольник состоит из 6 правильных треугольников.

Алчинов И.О.
№6 Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.

Алчинов И.О.
№11 Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, высота призмы равна 10. Найдите площадь ее поверхности.

Алчинов И.О.
№13 Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 15 и 20. Площадь ее поверхности равна 1380. Найдите высоту призмы.

Алчинов И.О.
Самостоятельная работа №1
1) Нахождение объёма треугольной призмы
2) Нахождение площади боковой поверхности треугольной призмы
3) Нахождение всей площади поверхности треугольной призмы

Алчинов И.О.
№1 В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 2300 см³ воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 25 см до отметки 27 см. Найдите объем детали. Ответ выразите в см³.
Был уровень: 25 см
Изменение уровня: 2 см
Часть которую ищем:

Алчинов И.О.
№2 В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 80 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в см.

Алчинов И.О.
№8 Через среднюю линию основания треугольной призмы, объем которой равен 32, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объем отсеченной треугольной призмы.
1) Высота в треугольнике уменьшилась в 2 раза
2) Основание в треугольнике уменьшилось в 2 раза
3) Значит площадь треугольника уменьшилась в 4 раза
4) Высота призмы не изменилась
5) Объем уменьшился в 4 раза
Ответ: 8

Алчинов И.О.
№4 Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8, а боковое ребро призмы равно 10.

Алчинов И.О.
№12 В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 16 и 30. Площадь ее поверхности равна 2588. Найдите боковое ребро этой призмы.

Алчинов И.О.
№7 Гранью призмы является ромб со стороной 1 и острым углом 60°. Одно из ребер призмы составляет с этой гранью угол в 60° и равно 2. Найдите объем призмы.

Алчинов И.О.
Самостоятельная работа №2
1) Нахождение объёма четырехугольной призмы
2) Нахождение площади боковой поверхности четырехугольной призмы.
3) Нахождение всей площади поверхности четырехугольной призмы

Алчинов И.О.
№3 Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, сторона основания которой равна 5, а высота — 10.
Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей всех ее боковых граней:

Алчинов И.О.
№5 Найдите боковое ребро правильной четырехугольной призмы, если сторона ее основания равна 20, а площадь поверхности равна 1760.

Алчинов И.О.
№10 От треугольной призмы, объем которой равен 6, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через сторону одного основания и противоположную вершину другого основания. Найдите объем оставшейся части.

Алчинов И.О.
№14 Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы равна 8. Найдите площадь боковой поверхности исходной призмы.
1) Фронтальная грань в два раза больше
2) Тыловая грань в два раза больше
3) Правая грань в два раза больше
4) Боковая поверхность в два раза больше
Ответ: 16

Алчинов И.О.
№15 Объём куба равен 12. Найдите объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.
В кубе помещается 8 треугольных призм

Алчинов И.О.
№16 Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки
A, B, C, A1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 2, а боковое ребро равно 3.
Требуется найти объём пирамиды, основание и высота которой совпадают с основанием и высотой данной треугольной призмы.

Алчинов И.О.
№17 Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки A, B, C, A1, C1 правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 15, а боковое ребро равно 6.

Алчинов И.О.
№18 Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки
A1, B1, B, C правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.

Алчинов И.О.

Алчинов И.О.
№18 Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки
A1, B1, B, C правильной треугольной призмы ABCA1B1C1, площадь основания которой равна 4, а боковое ребро равно 3.

Алчинов И.О.
№19 Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки
A, B, C, D, E, F, A1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 500, а боковое ребро равно 120.
Требуется найти объём пирамиды, основание и высота которой совпадают с основанием и высотой данной призмы.

Алчинов И.О.
№20 Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки
A, B, C,A1, B1, C1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 54, а боковое ребро равно 5.

Алчинов И.О.
№21 Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки
A, B, D, E, A1, B1, D1, E1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 96, а боковое ребро равно 12.

Алчинов И.О.
№22 Найдите объем многогранника, вершинами которого являются точки
A, B, C, D, A1, B1, C1, D1 правильной шестиугольной призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1, площадь основания которой равна 90,8 , а боковое ребро равно 15,5.

Алчинов И.О.
№23 Площадь поверхности правильной треугольной призмы равна 6. Какой станет площадь поверхности призмы, если все её рёбра увеличатся в три раза, а форма останется прежней?
1) Площади подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия.
2) Поэтому если все ребра увеличить в три раза, площадь поверхности увеличится в 9 раз.
3) Следовательно, она станет равна 54.

Алчинов И.О.
№26 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками B и E.
Длина большей диагонали правильного шестиугольника равна его удвоенной стороне. Поэтому

Алчинов И.О.
№27 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите угол DAB. Ответ дайте в градусах.
В правильном шестиугольнике углы между сторонами равны 120 градусов, значит,

Алчинов И.О.
№28 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра которой равны 8, найдите угол между прямыми FA и D1E1.

Алчинов И.О.

Алчинов И.О.

Алчинов И.О.
№43 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите расстояние между точками A и E1.

Алчинов И.О.

Алчинов И.О.
№45 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите тангенс угла AD1D.

Алчинов И.О.
№46 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите угол AС1С. Ответ дайте в градусах.

Алчинов И.О.
Самостоятельная работа №3
1) Нахождение объёма части шестиугольной призмы
2) Нахождение угла между прямыми в шестиугольной призме.
3) Нахождение длины отрезка в шестиугольной призме.

Алчинов И.О.
№29 В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми AD1 и B1D1. Ответ дайте в градусах.

Алчинов И.О.
№30 В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 3, найдите угол между прямыми AA1 и BC1. Ответ дайте в градусах.
Боковая грань CBB1C1 — квадрат, поэтому угол между его стороной и диагональю равен 45°.

Алчинов И.О.
№31 В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 известно, что A1C=2BC. Найдите угол между диагоналями BD1 и CA1. Ответ дайте в градусах.

Алчинов И.О.
№32 В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны оснований равны 2, боковые рёбра равны 5. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середины рёбер AB, AC, A1B1 и A1C1.

Алчинов И.О.
№33 В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 ребро AA1 равно 15, а диагональ BD1 равна 17. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки A, A1 и C.

Алчинов И.О.
№35 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины рёбер: AB = 9, AD = 12, AA1 = 18. Найдите синус угла между прямыми A1D1 и AC.

Алчинов И.О.
№47 В треугольной призме две боковые грани перпендикулярны. Их общее ребро равно 10 и отстоит от других боковых ребер на 6 и 8. Найдите площадь боковой поверхности этой призмы.

Алчинов И.О.