Параллельные прямые

Определение
Две прямые в пространстве называются параллельными, если:
1) они лежат в одной плоскости
2) они не пересекаются
a
b
a ‖ b

A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
Прямые АА1 и СС1 параллельны

A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
Прямые АВ и ВВ1
не параллельны

A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
Прямые АВ и СС1
не пересекаются и не лежат в одной плоскости, значит, не параллельны

Аксиома
Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной
a
b
А

Теорема
Через любую точку пространства,
не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна

Теорема
Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна
Доказательство:
a
М
b
Теорема доказана
M ∉ a
α
a, M ∈ α
M ∈ b, b ∥ a ⇒
⇒ b ∈ α ⇒
⇒ b — единственная

Лемма
Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает данную плоскость

Лемма
Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает данную плоскость
Дано: a ‖ b, a ∩ α
Доказать: b ∩ α
Доказательство:
1) a ∩ α = M
a, b ∈ β
α ∩ β = c
c ∩ b = P
2) c ⊂ β, c ∩ a ⇒
3) c ⊂ α ⇒ P ∈ α
P = b ∩ α
Лемма доказана
a
b
α
M
β
c
P

Определение
Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых
a
b
AB ‖ CD
А
В
С
D
Отрезки AB и CD параллельны