Показательные уравнения: типы и методы решения

Концентрация внимания
Концентрация внимания равна N.
N = (число верно указанных чисел) x 0,125 x 100%

Проанализируем решение уравнения ax=b графически
у=b, b<0
у=b, b<0

Проанализируем решение уравнения ax=b графически
у=b, b=0
у=b, b=0

Проанализируем решение уравнения ax=b графически
у=b, b>0
у=b, b>0

Уравнение ax=b корней не имеет
Уравнение ax=b имеет единственное решение x=logab
b>0
b≤0
Вывод:

Пример:

Во многих случаях решение показательных уравнений после надлежащих преобразований сводится к решению простейших показательных уравнений.
При решении показательных уравнений часто используется следующая теорема:
«Уравнение равносильно уравнению ».
В общем, виде справедлива теорема
«Уравнение равносильно совокупности
Замечание:
».

ОТВЕТ: -5 ; 1.

ОТВЕТ: 1.

ПРИМЕР
Показательные уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям.
ТИП
Вернемся
к переменной Х
.
ОТВЕТ:

ОТВЕТ:

.
Вернёмся
к переменной x
ОТВЕТ: 0 ; 1

Вернёмся
к переменной x
ОТВЕТ: 0 ; 1.

ОТВЕТ:
Вернёмся к переменной x

Введём функции и .
Функция убывает на R, как сумма убывающих на R. Функция постоянна на R.
Горизонтальная прямая может пересечь график функции не более чем в одной точке.
Следовательно, уравнение имеет не более одного корня. Корнем уравнения является x=1.
Решение
ПРИМЕР 1
Показательные нестандартные уравнения.
ТИП
ОТВЕТ: 1
Проверим это.

Легко определить и проверить,
что х=3 - корень данного уравнения.
Покажем, что других корней уравнение
иметь не может.

Решение
ПРИМЕР 2
Показательные нестандартные уравнения.
ТИП
Справедливы следующие утверждения:
Если функция возрастает (убывает)
на множестве I, то уравнение
не может иметь на I более одного корня.
Если функция возрастает на I, а функция
убывает на I, то уравнение
не может иметь на I более одного корня.

ОТВЕТ: 3
Введём функции и .
Показательная функция ( ) возрастает на R. Функция (обратная пропорциональность) убывает на каждом из промежутков , .
Таким образом, на и на уравнение имеет не более одного корня, т. е. - единственный корень данного уравнения.

Решение
ПРИМЕР 3
Показательные нестандартные уравнения.
ТИП
Прежде всего, заметим, что функция не является показательной функцией.
Существуют две точки зрения, оценивающие область определения данной функции.

Решение
ПРИМЕР 3
Показательные нестандартные уравнения.
ТИП
Решим данное уравнение, придерживаясь второй точки зрения.
Вначале проверим, какие из решений совокупности
являются корнями данного уравнения.
Проверка.
Проверка показала, что x=2 не является корнем уравнения.

Решение
ПРИМЕР 3
Показательные нестандартные уравнения.
ТИП
Проверка показала, что x=3 является корнем уравнения.
Проверка показала, что x=4 является корнем уравнения.

Решение
ПРИМЕР 3
Показательные нестандартные уравнения.
ТИП
Теперь установим, какие из корней уравнения
удовлетворяют исходному уравнению.
Проверка показала, что x=1 является корнем уравнения.
Проверка.

ОТВЕТ: 5 ; 4 ; 3 ; 1
Проверка показала, что х=5 является корнем уравнения.
Замечание: если придерживаться первой точки зрения, то корни х=1 и х=3 следует исключить.

Домашнее задание: