Выражения и их тождественные преобразования

Выражения и их тождественные преобразования

Математический язык –искусственный язык

Математический алфавит
Цифры: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Знаки операций: +, -, •, :
Знаки отношений: =, <, >
Строчные буквы латинского алфавита: a, b, c и т.д.
Технические знаки: ( ), {}

Числовое выражение – это записи, образованные из чисел, знаков действий и скобок
- пример: 3+6, 3-4 •(2+5), 28:7
Значение числового выражения - результат выполнения арифметических действий, указанных в выражении (или само число)
- пример: выражение 3 • 2 - 4 , его значение 2

Числовые выражения, не имеющие смысла
8 : (4 - 4 ) – делить на нуль нельзя!
7 – 9 (на множестве натуральных чисел)

Какие выражения не имеют смысла?
1)
2)
3) 10 + 20 – 45 (на множестве N)
4)
5) 10 + (20 – 45) (на множестве Z)
6)
7)

Выражения с переменной
2а+3
- Если а = 7, то 2 • 7 + 3
Если а = 0, то 2 • 0 + 3
- Если а = - 4, то 2 • (-4) + 3
Буква а – переменная, а сама запись
2а+ 3 – выражение с переменной

Символы, с помощью которых обозначают переменную:
Буквы: а, b, c
Квадратик: □ (например, 2 • □ + 3)

Область определения выражения – множество значений, получаемых при подстановке чисел вместо переменной, при которых данное выражение имеет смысл.
Например:
5 : (x - 7)
Область определения: все действительные числа, кроме 7

Найдите область определения выражения:
1)
2)
3)

((3+2) – • 12
3x – y : + ) 18

Точное определение числового выражения
Если f и g – числовые выражения, то (f) + (g), (f) - (g), (f) : (g) числовые выражения.
Считают, что каждое число также является числовым выражением

(7) + (5) (6) : (2)
37 – 12 + 62 – 17 + 13
120 : 15 •7 :12

Действия второй ступени – умножение и деление
Действия первой ступени – сложение и вычитание
Порядок: слева - направо

(12 • 4 : 3) +(5 • 8 : 2 • 7)
12 • 4 : 3 + 5 • 8 : 2 • 7

Найти значение выражения двумя способами:
3x(x-2) +4(x-2) при x = 6

Два выражения называются тождественно равными, если при любых значениях переменной из области определения выражения их соответственные значения равны

5(x-2) = 5x -10
Замена выражения другим, тождественно равным ему на некотором множестве, называется тождественным преобразованием данного выражения на этом множестве.

Задача
Разложите на множители выражение:
Прокомментируйте, какие законы сложения и умножения вы использовали?

35 • 4 = (30 + 5) • 4 = 30 • 4 + 5 • 4 = 120 + 20 = 40
Использованные принципы:
- свойство дистрибутивности умножения относительно сложения;
принцип записи чисел в десятичной системе счисления;
правила умножения и сложения натуральных чисел;

Числовые равенства
f = g, где f и g – числовые выражения
Числовое равенство– это высказывание, истинное или ложное.
Числовое равенство истинно, если значения числовых выражений, стоящих в левой и правой частях равенства, совпадают.

Некоторые свойства числовых равенств
Если к обеим частям истинного числового равенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл ,то получим также истинное числовое равенство.
Если обе части истинного числового равенства умножить на одно и тоже числовое выражение, имеющее смысл, то также получим истинное числовое равенство.

Числовые неравенства
f < g (или f > g ), где f и g – числовые выражения
Числовое неравенство– это высказывание, истинное или ложное.
6 + 2 > 13 – 7 истина
6 + 2 < 13 – 7 ложь