Значения слов ноль и нуль

В современном русском языке рассматриваемые слова имеют не одно, а несколько значений, которые и отмечены в толковом словаре:
Число, которое при прибавлении не влияет на сумму: 2 + 0 = 2.
Знак, обозначающий это число, а также используемый в цифрах, которые кратны десяти: 10, 20, …, 1000 и т. д.
Переносное знач. О человеке, который ничего не добился в жизни или в какой-то сфере деятельности, говорят: «Он полный ноль». При этом в толковом словаре не сказано, как нужно правильно писать - «ноль» или «нуль», потому что обе формы являются нормированными. Однако различия все же существуют, и касаются они сферы употребления этих слов.
Значения слов «ноль» и «нуль»
Нуль в математике - это целое число, одна из цифр в десятичной системе счисления. Обозначается знаком 0. Как цифра в записи многозначного числа или десятичной дроби нуль употребляется для обозначения отсутствия единиц определенного разряда.

Исторически слово «нуль» старше. Оно происходит от латинского слова nullus (никакой) и пришло к нам из немецкого языка в петровские времена вместе с приглашёнными на работу немецкими учёными (до этого пользовались римскими цифрами, среди которых нуля нет).
А слово «ноль» появилось позже, скорее всего от норвежцев.
НЕМНОГО ИСТОРИИ
И теперь в русском языке есть два разных слова для обозначения одного и того же — отсутствия некой величины: «нуль» и «ноль».
Наличие двух разных слов для обозначения одного и того же вызывает трудности их употребления, потому что «ноль» и «нуль» не равноправны и не взаимозаменяемы, то есть не являются синонимами.
Есть случаи, когда можно употреблять только один из этих вариантов, а другой, соответственно, нельзя.

«нуль»
легко изменяется по падежам.
Во множественном числе — только «нули».
Но уменьшительно — «нолики» (крестики-нолики).
КОГДА УПОТРЕБЛЯЕТСЯ «НУЛЬ», КОГДА «НОЛЬ»
«ноль»
употребляется только в именительном падеже, его нельзя склонять по падежам, прибавляя окончание (нельзя, например, сказать: «около ноля»).

свести к нулю,
назвать нулём
(и производные от нуля слова: обнулить, нулевой…).
Примеры употребления слова «нуль»
температура ниже нуля
около нуля
начать с нуля
быть на нуле
о нуле
равно нулю