Описание областей влияния базисных вейвлет-функций при помощи ИТ и построение решения задачи Дирихле для некоторых специальных о

Содержание работы.
Цель работы.
Основные определения.
Задача Дирихле и ее решение.
Основные результаты.
Список литературы.

Цель работы:
решение задачи Дирихле для области ограниченной концентрическими окружностями в терминах вейвлет-анализа.
Решение поставленной задачи достигается при помощи определения зон влияния базисных вейвлет-функций и, в частности, слагаемых, содержащихся в этих функциях, т.к. вейвлет-базисы могут быть хорошо локализованными как по частоте, так и по времени.

Основные определения.
Определение. Если удовлетворяет условию «допустимости»:
то называется «базисным вейвлетом». Относительно каждого базисного вейвлета интегральное преобразование определяется формулой
, ,
где и .

Определение. Тождественно не равная нулю функция называется функцией-окном, если так же принадлежит . Центр и радиус функции-окна определяются как
,
соответственно; ширина функции окна равняется .

Представление решения задачи Дирихле для концентрического кольца
Задача Дирихле.
Решение
где функции выражаются через элементы базиса пространств гармонических в кольце функций

Основные результаты.
Начнем исследование с вычисления координат центра области влияния слагаемых входящих в базисную функцию.
, где
Получаем, что и
.
.
.

Графики подынтегральной функции

Переходим к интегрированию по круговому сектору, градусная мера, которого равна .
т.е. -ое слагаемое n-ой базисной функции имеет
2 центров окон влияния лежащих на окружности.
,

Положение центров областей влияния.

Область влияния будет иметь вид усеченного кругового сектора.

Область влияния базисных функций с различными номерами.

Радиус внутренней окружности кольца фиксирован, а т.к. область влияния базисных функций сужается и стремится к нулю, следовательно с некоторого номера область влияния базисных функций не имеет общих точек с кольцом для которого решается наша задача. Значит в решении мы можем оставить конечное число членов .
Области влияния базисных функций этих членов имеют общие точки с кольцом, для которого решается задача.

Список литературы.
Чуи К. Введение в вейвлеты. Москва: «Мир», 2001. – 412 с.
Фрейзер М. Введение в вейвлеты в свете линейной алгебры. Москва: «БИНОМ. Лаборатория знаний», 2008. – 487 с.
Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. – 464 с.
Субботин Ю.Н., Черных Н. И. Гармонические всплески и асимптотика решения задач Дирихле в круге с малым отверстием. // Математическое моделирование, 2002 год, том 14, номер 5, стр. 17 – 30.
Субботин Ю.Н., Черных Н.И., Всплески в пространствах гармонических функций. // Известия РАН: серия математическая, 2000, том 64, номер 1, стр. 145 – 174.