«Определение производной. Геометрический смысл производной. Приложение производной к решению задач»

Отгадайте ключевое слово урока
1) С ее появлением математика перешагнула из алгебры в математический анализ;
2) Ньютон назвал ее «флюксией» и обозначал точкой;
3) Бывает первой, второй,… ;
4) Обозначается штрихом.

Исторические сведения
Производная – одно из фундаментальных понятий
математики. Оно возникло в XV11 веке. Независимо друг
от друга И.Ньютон и Г.Лейбниц разработали основные
элементы дифференциального исчисления.
«Метод флюкций». Так Ньютон назвал свою работу,
посвященную основным понятиям математического
анализа. Функцию Ньютон назвал флюентой,
а производную – флюкцией. Обозначения Ньютона
для производных - х* (с точкой) и у* - сохранились
в физике до сих пор.
Исчисление, созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии.

Сформулируйте определение производной .

В чём заключается геометрический смысл производной?

Правила дифференцирования
(u+v)' = u'+v'
(ku)' = ku'
(uv)' =u'v+uv'
(u/v)' =(u'v-uv') / v²

Уравнение касательной

Алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значения функцииy=f(x) на отрезке [a; b]
1. Найдите производную.
2. Найдите стационарные и критические точки функции, лежащие внутри отрезка [a;b ].
3. Вычислить значения функции y=f(x) в точках, отобранных на втором шаге, и в точках a и b;выбрать среди этих значений наименьшее и наибольшее .

При исследовании свойств функции следует найти
Область определения функции
Производную
Критические точки функции (производная равна 0 или не существует)
Промежутки возрастания и убывания
Точки экстремума и сами экстремумы.

Найти производную

Исследуем функцию с помощью графика производной

«Что бы это значило?»

«Что бы это значило?»

Приложения производной
Применении производной в геометрии(касательная к графику функции).
Применении производной в физике и технике.
Применение производной к исследованию функции.
Применение производной к решению задач на нахождение наибольшего и наименьшего значения функции.

Построение касательной и нормали к графику функции у = f(x) в точке Мٍ(а ٍ;f (аٍٍ))ٍ
y = f(a) + f '(a)(x-a) –уравнение касательной
y - f(a) = - 1/ f '(a)*(x-a) –уравнение нормали
Упражнение 1.
Написать уравнение касательной и нормали к графику функции у = f(х)
в точке с абсциссой а=1.
Решение:
f(x)=x –x, а=1
f (x)=3x -1
f (a) = 3*1-1 = 2
f(a) = 0
y - 0 = 2(x-1)
y = 2x- 2 – уравнение касательной
y - 0 = -1/2 * (х-1)
y = -1/2x+1/2 – уравнение нормали
Ответ: y = 2x- 2, y = -1/2x+1/2

Групповая работа

Задание 1 группы
Задача №1.
Тело массой m кг движется по закону х(t) ( х – в метрах, t – в секундах). Найдите силу, действующую на тело в момент времени t0, если m=3, t0 = 2, х(t)=0.25 t4 +1\3 t3 - 7 t + 2.
Задача №2.
Материальная точка движется по закону х(t)=- t3 +6 t2 +5 t ( х – в метрах, t – в секундах).
Определите скорость точки в момент, когда ее ускорение равно нулю.

Задание 2 группы
Составить уравнение общих касательных к кривым
f(x)=х² +4х +8 и g(x) = х² + 8х + 4

«Лишь дифференциальное исчисление
дает естествознанию возможность
изображать математически не только
состояния, но и процессы: движение».
Ф.Энгельс

Задание для всех групп
Что вы можете сказать о производной функции, которую описывает поговорка «Чем дальше в лес, тем больше дров»?
Каким может быть график функции, которая соответствует поговорке «Больше меры конь не скачет»?