16622120767524_Лекция 4_Прямая линия

Взаимные положения точки и прямой линии
Принадлежность точки прямой линии
Комплексный чертеж прямой линии
Прямая линия и ее задание
План лекции
Положения прямой относительно
плоскостей проекций
1
Взаимные положения двух прямых

Прямая линия и её задание
Прямая линия – это одно из фундаментальных понятий геометрии. Она является однопараметрическим множеством (этим единственным параметром является расстояние между двумя точками)
O
П2
П1
X
Y
Z
А1
А
А2
В1
В
В2
Двумя точками (см. А и В)
Точкой и направлением (вектором, лучом)
Точкой и углами наклона к плоскостям проекций
Как результат взаимного пересечения двух плоскостей
5
l2
l1
l
Прямая может быть задана:

X
У
У
А1
O
П2
Z
А2
П1
П3
А3
Комплексный чертеж прямой линии
В1
В2
В3
4
l3
l2
l1

Принадлежность точки прямой линии
Основополагающее положение (запомните его!): ТОЧКА ПРИНАДЛЕЖИТ ПРЯМОЙ, ЕСЛИ ЕЁ ПРОЕКЦИИ ПРИНАДЛЕЖАТ ОДНОИМЕННЫМ ПРОЕКЦИЯМ ЭТОЙ ПРЯМОЙ
(см. А1 принадлежит l1 , A2 принадлежит l2)
5
Не забывайте, что проекции точки А1 и А2 имеют линию проекционной связи, которая перпендикулярна оси проекций, т.е. (А1-А2)⊥ох
X
А1
П2
А2
П1
l2
l1
о
линия проекционной связи

Положение прямой относительно плоскостей проекций
Прямая общего положения
Прямая линия не параллельная (естественно, и не перпендикулярная) ни к одной из плоскостей проекций называется – прямой общего положения (произвольного расположения)
Проекционное свойство прямой линии общего положения:
На комплексном чертеже проекции прямой линии общего положения не параллельны и не перпендикулярны ни к одной из осей проекций
5

Комплексный чертеж прямой общего положения
4
Ещё раз запоминаем!
Проекционное свойство прямой линии общего положения:
На комплексном чертеже проекции прямой общего положения не параллельны и не перпендикулярны ни к одной из осей проекций

Положение прямой относительно плоскостей проекций
Прямые параллельные или перпендикулярные плоскостям проекций
параллельные плоскостям проекций
параллельная П1
параллельная П3
перпендикулярные плоскостям проекций
перпендикулярная П3
Прямые частных положений
Прямые
уровня
Проецирующие прямые
6
Знание частных случаев прямых относительно плоскостей проекций позволяют оперировать решению многих задач (изучите эти положения)

Прямой уровня называется прямая, параллельная к одной из плоскостей проекций.
Положение прямой относительно плоскостей проекций
Прямые уровня
7
На самом деле, пусть прямая параллельна П1, тогда, каждая, именно каждая точка на этой прямой, имеет одинаковую высоту относительно П1 (одинаковую координату Z каждой точки), т.е. имеет один уровень относительно плоскости П1.

Положение прямой относительно плоскостей проекций
ГОРИЗОНТАЛЬ (обозначается символом h )
O
П2
П1
X
Y
Z
А1
А
А2
В1
В
В2
Прямая линия, параллельная горизонтальной плоскости проекций П1, называется горизонталью (горизонтальной прямой) и обозначается символом h
Проекционное свойство горизонтали h :
1) Фронтальная проекция горизонтали h2 всегда параллельна оси проекций Ох
5
h2
h1
h
2) Горизонтальная проекция отрезка АВ (А1В1⊂ h1) отображается в натуральную величину НВ(АВ)= (А1В1)

Комплексный чертеж горизонтали
X
У
А1
O
П2
Z
А2
П1
П3
А3
В1
В2
В3
Н.В.(АВ)
Свойства горизонтали:
2. Горизонтальная проекция горизонтали А1В1 – натуральная величина отрезка АВ;
У
1. Фронтальная проекция горизонтали А2В2 параллельна оси ОХ.
9
h2
h1
h3

Комплексный чертеж фронтали, f
X
У
C1
O
П2
Z
С2
П1
П3
C3
D1
D2
D3
Н.В.
1. Горизонтальная проекция фронтали f 1 (C1D1) параллельна оси ОХ.
У
Свойства фронтали:
11
2. Фронтальная проекция фронтали f 2 (C2D2) – натуральная отрезка СD
f2
f1
f3

Комплексный чертеж
профильной прямой, p
X
У
C1
O
П2
Z
С2
П1
D1
D2
Самостоятельно постройте профильную проекцию прямой p3, укажите углы наклона этой прямой к плоскостям проекций П1 (α) и П2 (β)
Укажите свойства профильной прямой:
11
p2
p1
У

Проецирующие прямые
O
П2
П1
X
Y
Z
А1=B1 =q1
А
А2
В
В2
q – горизонтально проецирующая прямая
Эта прямая перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций П1 и проецируется на неё в точку (q₁)
5
q2
q
Проецирующие прямые – это прямые совпадающие
с направлением проецирования
Так как в методе Монжа проецирующий луч перпендикулярен к плоскостям
проекций, то проецирующие прямые также перпендикулярны
к плоскостям проекций
Н.В.
Фронтальная проекция (q₂) перпендикулярна оси проекций ОХ, на этой же проекции отрезок АВ прямой проецируется в натуральную величину.
Точки А и В являются конкурирующими: из-за точки А на П1 точку В не видно (она находится под точкой А; это можно судить и по фронтальным проекциям этих точек

Комплексный чертеж горизонтально проецирующей прямой
X
У
А1=B1=q1
O
Z
А2
А3
В2
В3
Н.В.(АВ)
Какие свойства
данной прямой q
можно отметить?
У
9
q2
q3
Н.В.(АВ)
Чему равны углы наклона прямой q к плоскостям проекций?

Комплексный чертеж фронтально проецирующей прямой
X
У
А2=B2=v2
O
Z
А1
В1
Н.В.(АВ)
Какие свойства
данной прямой v
можно отметить?
У
9
v1
Чему равны углы наклона прямой v
к плоскостям проекций?
Самостоятельно достройте профильную проекцию прямой v

Комплексный чертеж профильно проецирующей прямой
X
У
А3=B3=r3
O
Z
А2
В2
Какие свойства
данной прямой r
можно отметить?
У
9
r2
Чему равны углы наклона прямой r к плоскостям проекций?
Самостоятельно достройте горизонтальную проекцию прямой r

Взаимное положение точки и прямой
X
А2
В2
А1
В1
12
11
22
21
32
31
42
41
Если точка принадлежит прямой, то проекции этой точки принадлежат одноименным проекциям прямой
11∈(A1B1)
12∈(A2B2)
т.1∈(AB)
21∉(A1B1)
22∉(A2B2)
т.2∉(AB)
31∈(A1B1)
32∉(A2B2)
т.3∉(AB)
41∉(A1B1)
42∉(A2B2)
т.4∉(AB)
17

Взаимное положение точки и прямой
X
А2
E2
А1
E1
B2
B1
C2
C1
D2
D1
17
l2
l1
A – принадлежит
прямой l, A∈ l
В – над прямой l, B ∉ l
С – под прямой l, С ∉ l
D – перед прямой l, D ∉ l
Е – за прямой l, E ∉ l

Взаимное положение точки и прямой
X
А2
T1
А1
T2
P1
P2
R1
R2
S1
S2
17
l2
l1
V1
V2
W1
W2
А - ?
P - ?
R - ?
S - ?
T - ?
V - ?
W - ?

Взаимное расположение двух прямых
Прямые в пространстве могут быть:
Пересекающимися
Параллельными
Скрещивающимися
2

Пересекающиеся прямые
Пересекающиеся прямые – это прямые имеющие одну общую собственную точку, т.е. точку их взаимного пересечения.
На чертеже проекции этой точки находятся на одной линии проекционной связи.
2

Построение пересекающихся прямых
2
К1
К2
X
a1
a2
b1
b2
Дано:
прямая a
и точка M.
Требуется через точку M провести прямую b,
которая пересекает прямую a в точке К.
На чертеже проекции этой точки (К1, К2) находятся на одной линии проекционной связи (К1-К2)⊥ОХ .
М1
М2
О

Параллельные прямые
Параллельные прямые – это прямые имеющие одну общую несобственную точку (бесконечно удаленную точку)
На чертеже одноименные проекции таких прямых взаимно параллельны
2

Построение параллельных прямых
2
a1
a2
b1
b2
Дано:
прямая a
и точка N
Требуется через точку N провести прямую b,
которая параллельна прямой a, т.е. (b⊃N, b||a)
На чертеже одноименные проекции прямых параллельны: b1⊃N1, b1||a1 ; b2⊃N2, b2||a2
N1
N2

Скрещивающиеся прямые
Скрещивающиеся прямые – это прямые не имеющие общей точки
На скрещивающихся прямых линиях рассматривают конкурирующие точки, при помощи которых устанавливается видимость на чертеже
2