Алгебра высказываний

СОДЕРЖАНИЕ
Введение.
Логическая операция конъюнкция.
Логическая операция дизъюнкция.
Логическая операция инверсия.
Логическая операция импликация.
Логическая операция эквиваленция.
Конец.

АЛГЕБРА в широком смысле этого слова – наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться над различными математическими объектами (алгебра переменных и функций, алгебра векторов, алгебра множеств и так далее).
Объектами алгебры логики являются высказывания.

Алгебра логики отвлекается от смысловой содержательности высказываний. Ее интересует только один факт – истинно или ложно данное высказывание, что дает возможность определять истинность или ложность составных высказываний алгебраическими методами.

Простые высказывания в алгебре логики обозначаются заглавными буквами
А = {Аристотель – основоположник логики}
В = {На яблонях растут бананы}
Истинному высказыванию ставится в соответствие 1, ложному – 0.
Таким образом, А = 1, В = 0.

Составные высказывания на естественном языке образуются с помощью союзов, которые в алгебре высказываний заменяются на логические операции.
Логические операции задаются таблицами истинности.
содержание
дальше

Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ (логическое умножение)
В естественном языке соответствует союзу и
В алгебре высказываний обозначается
⋅ ∧ &
В языках программирования обозначается and

Конъюнкция –
это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны.

Пример. Даны высказывания. Определите истинность каждого из них.
А = {10 делится на 2 и 5 не больше трех}
В = {10 не делится на 2 и 5 больше трех}
С = {10 делится на 2 и 5 больше трех}
D = {10 не делится на 2 и 5 не больше трех}
А = 1 ∧ 0 = 0
В = 0 ∧ 1 = 0
С = 1 ∧ 1 = 1
D = 0 ∧ 0 = 0

Таблица истинности
содержание
дальше

Логическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯ (логическое сложение)
В естественном языке соответствует союзу или.
В алгебре высказываний обозначается
∨
В языках программирования обозначается or.

Дизъюнкция –
Дизъюнкция –
это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны и истинным, когда хотя бы одно из двух образующих его высказываний истинно.

Пример. Даны высказывания. Определите истинность каждого из них.
Пример. Даны высказывания. Определите истинность каждого из них.
А = {10 делится на 2 или 5 не больше трех}
В = {10 не делится на 2 или 5 больше трех}
С = {10 делится на 2 или 5 больше трех}
D = {10 не делится на 2 или 5 не больше трех}
A = 1 ∨ 0 = 1
B = 0 ∨ 1 = 1
C = 1 ∨ 1 = 1
D = 0 ∨ 0 = 0

Таблица истинности
Таблица истинности
содержание
дальше

Логическая операция ОТРИЦАНИЕ
(инверсия)
В естественном языке соответствует частице не.
В алгебре высказываний обозначается
А, ¬А
В языках программирования обозначается not

Отрицание –
это логическая операция, которая каждому простому истинному высказыванию ставит в соответствие ложное высказывание.

Пример
А = {Луна – спутник Земли}
А = {Луна – не спутник Земли}

Таблица истинности
содержание
дальше

Логическая операция ИМПЛИКАЦИЯ
(логическое следование)
Логическая операция ИМПЛИКАЦИЯ
(логическое следование)
В естественном языке соответствует обороту если …, то … .
В алгебре высказываний обозначается
⇒ →
В языках программирования не используется

Импликация –
Импликация –
это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся ложным тогда и только тогда, когда условие (первое высказывание) истинно, а следствие (второе высказывание) ложно.

Пример. Даны высказывания.
Пример. Даны высказывания.
А = {Данный четырехугольник - квадрат}
В = {Около данного четырехугольника можно описать окружность}
Рассмотрим составное высказывание А → В , понимаемое как «если данный четырехугольник – квадрат, то около него можно описать окружность».
Есть три варианта, когда
высказывание А → В истинно

А истинно и В истинно, т. е. если данный четырехугольник – квадрат, то около него можно описать окружность;
А ложно и В истинно, т. е. если данный четырехугольник не является квадратом, то около него можно описать окружность;
А ложно и В ложно, т. е. если данный четырехугольник не является квадратом, то около него нельзя описать окружность;
А истинно и В истинно, т. е. если данный четырехугольник – квадрат, то около него можно описать окружность;
А ложно и В истинно, т. е. если данный четырехугольник не является квадратом, то около него можно описать окружность;
А ложно и В ложно, т. е. если данный четырехугольник не является квадратом, то около него нельзя описать окружность;
Ложен только один вариант: А истинно и В ложно, т. е. если данный четырехугольник – квадрат, то около него нельзя описать окружность.

В обычной речи связка «если …, то» описывает причинно-следственную связь между высказываниями. Но в логических операциях смысл высказываний не учитывается. Рассматривается только их истинность или ложность. Поэтому не надо смеяться над бессмысленностью импликаций, образованных высказываниями, совершенно не связанными по содержанию.
Например, такими:
«если президент США – демократ, то в Африке водятся жирафы»
или «если арбуз ягода, то в бензоколонке есть бензин»

Таблица истинности
Таблица истинности
дальше
содержание

Логическая операция ЭКВИВАЛЕНЦИЯ
(равнозначность)
Логическая операция ЭКВИВАЛЕНЦИЯ
(равнозначность)
В естественном языке соответствует оборотам речи тогда и только тогда; в том и только в том случае
В алгебре высказываний обозначается
⇔ ↔ ~
В языках программирования не используется

Эквиваленция –
Эквиваленция –
это логическая операция, ставящая в соответствие каждым двум простым высказываниям составное высказывание, являющееся истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания одновременно истинны или ложны.

Пример. Определить истинность высказываний.
Пример. Определить истинность высказываний.
А = {24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 3}
А = 1 ↔ 1 = 1
В = {23 делится на 6 тогда и только тогда, когда 23 делится на 3}
В = 0 ↔ 0 = 1
С = {24 делится на 6 тогда и только тогда, когда 24 делится на 5}
С = 1 ↔ 0 = 0
D = {21 делится на 6 тогда и только тогда, когда 21 делится на 3}
D = 0 ↔ 1 = 0

Таблица истинности
Таблица истинности
содержание
дальше

спасибо за
внимание
и активную работу!