Доказательство теоремы Пифагора,основанного на теории подобия

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательство через подобные треугольники.

Дано: АВС- прямоугольный треугольник
Доказать: АВ= АС+ВС
2
2
2
Доказательство
В прямоугольном треугольнике АВС проведем из вершины прямого угла высоту СН; тогда треугольник разобьется на два треугольника, также являющихся прямоугольными.

Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам (по первому признаку подобия: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны):
Треугольники АВС и АСН, кроме прямого угла, имеют общий угол А.
Аналогично, треугольник CBH подобен ABC (общий угол В).
Малые треугольники также подобны друг другу, т.к. каждый из них подобен большому треугольнику.
Так как в подобных треугольниках соответственные стороны пропорциональны, то из подобия исходного треугольника и треугольника АСН следует
АН:АС=АС:АВ, или АС = АН∙АВ.
2
2
2
2

Теорема доказана.
Пользуясь терминами теории пропорций:
В прямоугольном треугольнике каждый катет есть средняя пропорциональная между гипотенузой и прилежащим к этому катету отрезком гипотенузы.
Аналогичное равенство, относящиеся к другому катету, имеет вид
ВС 2= НВ∙АВ.
Сложив оба равенства, получим
АС2+ВС2=АН ∙АВ+ВН ∙АВ = АВ(АН+ВН) = АВ2.

Мы пришли к доказательству теоремы Пифагора, основанному на теории подобия.
Оно встречается у индуса Басхара (род. В 1114 г. н. э.)
и затем у Леонарда Пизанского (в Practica geometriae, 1220 г.);
Позднее оно вновь было независимо найдено английским математиком Валлисом (1616-1703, Оксфорд).
Литература:
В. Литцман. Теорема Пифагора. М., 1960.

Задачи на применение
теоремы Пифагора

На какое расстояние надо отодвинуть от стены дома нижний конец лестницы длиною 17м, чтобы верхний конец её достал до слухового окна, находящегося на высоте 15м от поверхности земли?
17м
15м
Поверхность земли

На какое расстояние надо отодвинуть от стены дома нижний конец лестницы длиною 17м, чтобы верхний конец её достал до слухового окна, находящегося на высоте 15м от поверхности земли?
Дано: ▲АВС АВ=17м, АС=15м,
Найти: СВ
17м
?
С
В
А
15м

Задача древних индусов
Над озером тихим,
С полфута размером, высился лотоса цвет.
Он рос одиноко. И ветер порывом
Отнес его в сторону. Нет
Боле цветка над водой,
Нашел же рыбак его ранней весной
В двух футах от места, где рос.
Итак, предложу я вопрос:
Как озера вода
Здесь глубока?

На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой
С теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в том месте река
В четыре лишь фута была широка.
Верхушка склонилась у края реки.
Осталось три фута всего от ствола,
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:
У тополя как велика высота?
Задача индийского
математика XII века
Бхаскари: