Функция y=cos(x)

Свойства функции
1.D(y)
2.E(y)
3. Четность функции
4. Периодичность функции
5.Нули функции
6. Наибольшее значение
7. Наименьшее значение
8. Положительные значения
9. Отрицательные значения
10. Возрастание функции
11. Убывание функции

y = cos x
D (y)
x Є R

y = cos x
x
y
0
π/2
π
3π/2
2π
x
y
1
- 1
- π/2
- π
- 3π/2
1
- 1
0
E (y)
[ -1; 1]

y = sin x
x
y
0
π/2
π
3π/2
2π
x
y
1
- 1
- π/2
- π
- 3π/2
1
- 1
0
Четность функции
Функция четная, т.к. cos (-x)=cos x,
график симметричен относительно оси Oy

y = cos x
x
y
0
π/2
π
3π/2
2π
x
y
1
- 1
- π/2
- π
- 3π/2
1
- 1
0
Периодичность функции
Период функции Т=2π,
cos (x+2π)=cos x

y = cos x
x
y
0
π/2
π
3π/2
2π
x
y
1
- 1
- π/2
- π
- 3π/2
1
- 1
0
Нули функции cos x = 0
при x = π/2 +πk

y = cos x
x
y
0
π/2
3π/2
2π
x
y
1
- 1
- π/2
- π
- 3π/2
1
- 1
0
Наибольшее значение cos x = 1
при х= 2πk
π

y = cos x
x
y
0
π/2
π
3π/2
2π
x
y
1
- 1
- π/2
- π
- 3π/2
1
- 1
0
Наименьшее значение cos x = -1
при х= π+2πk
х= 3π/2

y = cos на отрезке
x
y
0
π/2
π
3π/2
2π
x
y
1
- 1
- π/2
- π
- 3π/2
cos(0)=1
cos(π/4) ≅ 0,7
cos(π/3) ≅ 0,5
Построение графика функции

у = cos x
π
π/2
- π/2
- π
- 3π/2
3π/2
y
x
0
y
x
График функции на отрезке

y = cos x
x
y
0
π/2
π
3π/2
2π
x
y
1
- 1
- π/2
- π
- 3π/2

y = cos x
x
y
0
π/2
π
3π/2
2π
1
- 1
- π/2
- π
- 3π/2
-2π
5π/2
Y=cos x
График функции y=cos x называется синусоида

y = cos x
+
+
x
y
0
π/2
π
3π/2
2π
x
y
1
- 1
Положительные значения cos x>0
- π/2
- π
- 3π/2
на отрезке (- π/2+2πk; π/2+2πk),
Промежутки знакопостоянства
k

y = cos x
–
–
x
y
0
π/2
π
3π/2
2π
x
y
1
- 1
Отрицательные значения cos x<0
- π/2
- π
- 3π/2
на отрезке (π/2+2πk; 3π/2+2πk).
Промежутки знакопостоянства
.
k

y = cos x
x
y
0
π/2
π
3π/2
2π
x
y
1
- 1
Функция возрастает
- π/2
- π
- 3π/2
на отрезке [-π+2πk; 2πk]
Промежутки возрастания

y = cos x
x
y
0
π/2
π
3π/2
2π
x
y
1
- 1
Функция убывает
- π/2
- π
- 3π/2
на отрезке [2πk; π+2πk]
Промежутки убывания

Сравнить числа cos 2 и cos 3
Задача
Так как = 3,14, , то
< 2 < 3 <
Из графика видно, что на отрезке функция у=cos х убывает.
Ответ: cos 2 > cos 3.

Упражнения
Пользуясь свойствами функции у = cos x , сравните числа:
cos 1000 и cos 1300

Расположить в порядке возрастания числа
cos 1.9 ; cos 3; cos(-1); cos(-1.5).
Числа cos 1.9 и cos 3 положительны, так как точки Р(1,9) и Р(3) находятся в 1 четверти. Функция у=cosх в 1 четверти убывает. cos 3 < cos 1.9
Числа cos(-1) и cos(-1.5) отрицательны, так как точка Р(-1) и Р(-1,5) находятся в 3 четверти.
Функция у=cosх в 3 четверти возрастает.
cos(-1) < cos(-1.5)
Ответ:
Таким образом, в порядке возрастания эти чила располагаются так:
cos(-1.5); cos(-1); sin 3; cos 1.9.

Сдвиг вдоль оси ординат
Построить график функции у=cosх+3
Построить график функции у=sinх-3
+
вверх
-
вниз
y = cos x
y = cos x + 3
y = cos x
y = cosx - 3
3
-3
Преобразование графика
y = cos x

Сдвиг вдоль оси абсцисс
Построить график функции у=cos(х - )
Построить график функции у=cos(х+ )
+
Сдвиг влево
-
Сдвиг вправо
y = cos x
y = cos (x - )
y = cos(x + )
y = cos x

Сжатие и растяжение к оси абсцисс
K > 1
растяжение
0 < K < 1
сжатие
Построить график функции у= 3 cosх
Построить график функции у=1/ 3 cosх
y = 3 cos x
у = 1/3 cos x
y = cos x
y = cos x

Сжатие и растяжение к оси ординат
Построить график функции
у = cos 2х
Построить график функции
у = cos
K > 1
сжатие
0 < K < 1
растяжение
y =cos 2х
y = cos
y = cos x

У
х
y = cos x
При каких значениях х функция у=cos x принимает значение, равное 0? 1? -1?
Может ли функция у= cos x принимать значение больше 1, меньше -1?
При каких значениях х функция у=cos x принимает наибольшее (наименьшее) значение?
Каково множество значений функции у=cos x?