Геометрическое доказательство формул сокращенного умножения

Цель проекта:
изучение исторических аспектов темы;
доказательство формул сокращенного умножения с помощью геометрии;
изучение предмета геометрической алгебры;
систематизация полученных данных;
создание презентации.
Методы и приемы:
анализ научной и исторической литературы по проблеме исследования,
построение геометрических моделей доказательства формул сокращенного умножения,
использование информационно-коммуникационных технологий,
качественный анализ результатов.

Историческая справка
Использование геометрических чертежей как иллюстрации алгебраических соотношений встречалось еще в Древнем Египте и Вавилоне. Например, при решении уравнений с двумя неизвестными, одно называлось “длиной”, другое -”шириной”. Произведение неизвестных называли “площадью”. В задачах, приводящих к кубическому уравнению, встречалась третья неизвестная величина - “глубина”, а произведение трех неизвестных именовалось “объемом”.
Древние египтяне и вавилоняне излагали свои алгебраические познания в числовой форме. Они не знали ни отрицательных чисел, ни, тем более комплексных и уравнения, не имеющие положительных корней ими не рассматривались. Все задачи и их решения излагались словесно.
Геометрический путь, несомненно, был гениальной находкой античных математиков. Но, к сожалению, он сдерживал дальнейшее развитие алгебры. Ведь геометрически можно выразить лишь первые степени (длины), квадратные (площади) и кубы (объемы), но не высшие степени неизвестных. Да и неизвестные в этом случае могут быть только положительными числами. Наконец, вместо алгебраических преобразований приходилось производить геометрические построения, часто очень громоздкие. Чтобы построить неизвестное, иногда нужно было быть подлинным виртуозом - это шло на пользу геометрии, но не алгебре.

Введение
Евклид все действия над рациональными числами описывал на «геометрическом» языке: сложение чисел объяснял как сложение отрезков, а их произведение выражал площадью прямых прямоугольника со сторонами, равными данным отрезкам. Так возникла называемая геометрическая алгебра.
Числа в геометрической алгебре аналогичны отрезкам прямой, а произведение их аналогично площади геометрической фигуры (прямоугольника или квадрата).
Рассмотрим вывод формул сокращенного умножения, выполненный средствами геометрической алгебры. При этом, как будет показано, геометрические доказательства оказываются проще и нагляднее, чем соответствующие алгебраические.

Содержание
Введение.
Историческая справка.
Доказательство формулы Доказательство формулы (a+b)2=a2+2ab+b2.
Доказательство формулы (a-b)2=a2-2ab+b2.
Доказательство формулы a2-b2=(a-b)(a+b).
Доказательство формулы (a+b)3=a3++3+3a2b+b+3ab+3ab2 ++b3.
Доказательство формулы (a-b)3=a3--3-3a2b+b+3ab+3ab2--b3.
Доказательство формулы a3-b3==(a-b)(a2+ab+b2).
Доказательство формулы a3+b3==(a=(a+=(a+b)(a2--ab +b2).
Выводы.
Информационные источники.

Геометрическое доказательство формулы (a+b)2=a2+2ab+b2
S1
S2
S3
S4
a
b
a
b
Построим квадрат со стороной a, его площадь S1 = a2.
Продолжим стороны квадрата на отрезок b, получим квадрат со
стороной a+b, площадь которого S =(a+b)2
Вместе с тем,
площадь квадрата со стороной a+b (S) состоит
из площади квадрата со стороной a (S1),
площади квадрата со стороной b (S4) и двух прямоугольников с площадями ab (S2, S3).
Тогда S = S1 + S2 + S3 + S4
или
(a+b)2 = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2.
К содержанию

(a+b)3 = a3 + b(a+b)(a+b) + a(а+b)b +ааb = a3 + b(a2+2аb+ b 2)+aab+abb+aab=
a3 + a2 b+ 2аb 2+ b3 + a2 b+ аb 2 + a2 b=a3 + 3a2 b+ 3аb 2+ b3.
Геометрическое доказательство формулы
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2 +b3
V = V1 + V2 + V3 + V4
К содержанию

Геометрическое доказательство формулы (a-b)2=a2-2ab+b2
a
b
a
b
b
b
a - b
a - b
Построим квадрат со стороной a, его площадь S = a2.
Отложим на сторонах квадрата отрезок b, получим квадрат со
а-b, площадь которого S1 =(a-b)2
Проведем отрезки, соединяющие концы отрезков a-b и b на каждой из сторон.
S1
S2
S3
S4
Площадь квадрата со стороной a (S) состоит из площади квадрата со стороной a-b (S1), площади квадрата со стороной b (S4) и двух прямоугольников с площадями (a-b)b (S2, S3).
Тогда S1 = S - S2 - S3 - S4
или
(a-b)2 = a2 - (a-b)b - (a-b)b - b2 =
a2 – ab + b2 – ab + b2 - b2 =
a2 - 2ab + b2.
К содержанию

Геометрическое доказательство формулы
a2-b2=(a-b)(a+b)
a
a - b
b
a
S1
S2
S3
b
Построим квадрат со стороной a и разделим его на квадрат со стороной b и два прямоугольника со сторонами a-b, a и a-b, b, соответственно.
a - b
Площадь фигуры, определяемая как разность площади квадрата со стороной a (S) и площади квадрата со стороной b (S1) равна сумме площадей прямоугольников со сторонами
a-b, a (S2) и a-b, b (S3).
Тогда S - S1 = S2 + S3
или
a2 – b2 = (a - b)a + (a - b)b = (a - b)(a + b).
К содержанию

Геометрическое доказательство формулы
(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
V = V1 – V2 – V3 – V4
(a-b)3 = a3-baa-(a-b)ba-(a-b)(a-b)b = = a3-a2b-(a2b-b2a)-(a2-2ab+b2)b =
= a3-a2b-a2b+ab2-a2b+2ab2-b3 =
= a3-3a2b+3ab2-b3.
V – объем куба со стороной a-b
V1 – объем куба со стороной a
V2 –объем параллелепипеда a,b,а
V3- объем параллелепипеда a- b,b,а
V4- объем параллелепипеда a- b, a- b, b
К содержанию

Геометрическое доказательство формулы
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
V1 – V2 = V3 + V4 + V5
a3-b3 = (a-b)aa+(a-b)ab+(a-b)bb =
= (a-b)(a2+ab+b2).
V1 – объем куба со стороной a
V2 - объем куба со стороной b
V3–объем параллелепипеда a- b,а, а
V4 - объем параллелепипеда a- b,b,а
V5 - объем параллелепипеда a- b,b, b
К содержанию

Геометрическое доказательство формулы
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)
V1 + V2 = V3 – V4 – V5
a3+b3 = (a+b)aa-(a-b)bb-(a-b)ab =
= a2(a+b)-b2(a-b)-ab(a-b) =
= a2(a+b)-b(a-b)(a+b) =
= (a+b)(a2-ab+b2).
V1 – объем куба со стороной a
V2 - объем куба со стороной b
V3–объем параллелепипеда a+b,а, а
V4 - объем параллелепипеда a- b,b, b
V5 - объем параллелепипеда a- b,а, b
К содержанию

Выводы
Доказательство формул сокращенного умножения можно выполнить средствами геометрической алгебры.
Геометрические доказательства существенно проще и нагляднее, чем соответствующие алгебраические.
C помощью таких геометрических объектов, как отрезки, прямоугольники, параллелепипеды, удалось доказать формулы сокращенного умножения.
К содержанию

Информационные источники
Рывкин А.А., Рывкин А.З., Хренов Л.С. Справочник по математике. М.: ВШ, 1975. – 554 с.
http://mf.mgpu.ru/Materials/Geom_alg [Геометрическая алгебра].
http://mf.mgpu.ru/Materials/Geom_alg [Агафонов В.В. Аналогия в математике].
К содержанию