ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЭВОЛЮЦИИ И ВРЕМЕНИ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО СУЩЕСТВОВАНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОРБИТ, ИСПЫТЫВАЮЩИХ ГРАВИТАЦИОННО

СОДЕРЖАНИЕ
Интегралы для спутникового варианта пространственной ограниченной круговой задачи трех тел
Геометрическое исследование интегралов c1, c2
Учет конечного размера центрального тела
Отображение начальных условий в область значений констант c1, c2
Примеры выбора орбит с учетом проблемы соударения с центральным телом
Анализ периода эволюции и времени баллистического существования
Примеры выбора орбит с учетом времени баллистического существования
Сопоставление численных и аналитических расчетов времени баллистического существования на примере орбиты Хвостового зонда проекта ИНТЕРБОЛ

Интегралы для спутникового варианта пространственной ограниченной круговой задачи трех тел , полученные М.Л. Лидовым в 1961
c0 = a; (1)
c1 = ε cos2i; (2)
c2 = (1- ε) (2/5 - sin2ω sin2i) (3)
a - большая полуось орбиты ИСЗ; ε = 1 - e2; e - эксцентриситет;
i - наклонение орбиты ИСЗ к плоскости орбиты возмущающего тела;
ω - аргумент перицентра, измеренный от линии узлов на плоскости орбиты возмущающего тела.
c0 = a0; c1 = ε0 cos2i0; c2 = (1- ε0) (2/5 - sin2ω0 sin2i0) (4)
ε*

Начало совпадает с притягивающим центром S
радиус – с параметром ε (0 ≤ ε ≤1) ;
ко-широта – с наклонением i (0 ≤ 180°);
долгота – с аргументом перицентра ω (0 ≤ ω ≤ 360°).
Соответствующая
прямоугольная система координат
Плоскость OXZ параллельна плоскости орбиты возмущающего тела J;
Экваториальная плоскость OXY перпендикулярна к плоскости орбиты возмущающего тела;
Ось OY направлена по нормали к плоскости орбиты возмущающего тела.
Сферическая система координат

Геометрическое исследование интегралов c1, c2
Сечения поверхностей c1 = const диаметральными плоскостями: ω = 0°, 180° (а)
ω = 90°, 270° (б)
Линии c2 = const на поверхностях:
c1 = 0.2 (в)
c1 = 0.7 (г)

Учет конечного размера центрального тела
Формула М.Л. Лидова для вычисления значения ε*, соответствующего соударению с центральным телом радиуса R орбиты с большой полуосью a: Rp = R; e = 1-R/a; ε* = 1 - (1-R/a)2 (5)
Введем безразмерный параметр a* = a / R, тогда ε* = (2a* -1)/a*2 (6)
Зависимость ε* от
безразмерного параметра a*

Косой штриховкой показаны области значений c1, c2, соответствующие орбитам с конечным временем баллистического существования
при a* = 16
при a* = 8
c1
c2
c1
c1< c2 ε*/ (1-ε*) +3/5 – неравенство Ю.Ф. Гордеевой, 1968

a* = 8
c1= 0.1, c2 = 0.1
c1= 0.1, c2 = -0.1
Пересечения поверхности c1= 0.1 со сферами радиуса ε* и ε0 показано соответственно утолщенной и пунктирной линиями.
Точки старта показаны светлыми символами
точки падения – темными
Эволюция орбит с конечным временем баллистического
существования

Отображение координатной сетки ω0, i0
сферической поверхности
ε0 = 0.4
в ограниченную треугольником косоугольную сетку
в области c1, c2
Отображение начальных условий в область c1, c2
c1
c2

К выбору орбит с учетом проблемы соударения с центральным телом (1)
a = 8 RE, hp0 = 5000 км, e0 = 0.777,ε0 = 0.4
i0= 45°, ω0 = -90°
i0= 45°, ω0 = -45°
i0= 60°, ω0 = -30°
Штриховкой отмечена область значений с1, с2, которым соответствуют орбиты с конечным временем баллистического существования
c2
c1

К выбору орбит с учетом проблемы соударения с центральным телом (2)
a = 8 RE, hp0 = 1000 км, e0=0.855, ε0= 0.27
i0= 45°, ω0 = -90°
i0= 45°, ω0 = -45°
i0= 60°, ω0 = -30°
Штриховкой отмечена область значений с1, с2, которым соответствуют орбиты с конечным временем баллистического существования
c2
c1

Период эволюции и время баллистического существования
Для вычисления времени баллистического существования орбит, эволюция которых заканчивается соударением с центральным телом, также как и для вычисления периода эволюции, в дополнение к интегралам (1), (2), (3), будем пользоваться полученной М.Л Лидовым квадратурой:
(7)
(8)
где N – порядковый номер оборота спутника, M – масса центрального тела; Mk, ak , εk – соответственно масса, большая полуось и параметр ε орбиты возмущающего тела.

Период эволюции и время баллистического существования
Для вычисления периода используются пределы интегрирования εmin , εmax, а для вычисления времени баллистического существования - ε0 , ε* .
Будем пользоваться полученным в известной работе Ю.Ф. Гордеевой 1968 г выражением этой квадратуры через эллиптический интеграл первого рода.
Обозначим ⏐Lc⏐удвоенную квадратуру, вычисленную в пределах εmin , εmax, и, следуя работе Ю.Ф. Гордеевой, запишем выражение для периода T эволюции орбитальных элементов e, i, умножив слева и справа выражение (7) на кеплеров период обращения точки P по ее орбите:
(9)
Рассмотрим как выглядит функции ⏐Lc⏐(c1, c2) в области возможных значений этих параметров.

Сечение поверхности ⏐Lc⏐(c2, c1) плоскостями c1 = const
a) 0 ≤ c1 < 1
б) 0 ≤ c1 < 0.6
c2
⏐Lc⏐
⏐Lc⏐

c1
c2
Линии уровня функции ⏐Lc⏐(c2,c1)

Время баллистического существования
Обозначим Lr (c1, c2, a, ε0 , ω0) неполный эллиптический интеграл первого рода, соответствующий квадратуре (7), вычисленной в пределах ε0 , ε* (исходя из начального значения ω0). Аналогично выражению (9) запишем выражение для времени баллистического существования Tr:
(10)
Мажорантой для функции Lr (c1, c2, a, ε0 , ω0) является функция Lb (c1, c2, a), вычисленная в пределах ε*, ε* (исходя из начального значения ω0, принадлежащего II или IV четверти).
Имеет место следующее очевидное неравенство:
Lr (c1, c2, a, ε0 , ω0) < Lb (c1,c2,a) < ⏐Lc ⏐(c1,c2) (11)
Рассмотрим как выглядит функция Lb(c1, c2 , a) в области возможных значений параметров c1, c2 при a = 8 R.

Линии уровня функции ⏐Lc⏐(c1,c2) и мажоранты Lb(c1,c2, a*)
при a* = 8
c1
c2

a = 8 RE, hp0=5000км, e0 = 0.777. ε0 = 0.4
i0=45°, ω0=-90°, Lc = - 10.2
i0=45°, ω0=-45°, Lc = 9
i0=60°, ω0=-30° , Lb = 6
Линии уровня показывают значения параметров Lb для орбит с конечным временем баллистического существования и ⏐Lc⏐ для остальных орбит
К выбору орбит ИСЗ с учетом
длительности баллистического
существования
c1
c2

Анализ периода эволюции элементов орбиты и времени баллистического существования
Преобразуем выражение (9) для периода T, чтобы более выпукло показать роль остальных сомножителей
(12)
Введем характерный размер l, характерное время τ и безразмерные переменные:
Введем следующие безразмерные параметры:
параметр подобия орбит ;
параметр подобия возмущений

Анализ периода эволюции элементов орбиты и времени баллистического существования
Запишем выражение безразмерного периода T* через ⏐Lc⏐и параметр подобия возмущений LD:
(13)
Далее, выразим T* через ⏐Lc⏐и безразмерный коэффициент Q:
(14)

Анализ периода эволюции элементов орбиты и времени баллистического существования
Введем следующие численные значения характерного размера l = RE = 6371.2 км и времени τ =365 сут
В таблице 1 приведены численные значения параметра подобия возмущений LD для систем:
Земля – Луна – ИСЗ,
Земля – Солнце – ИСЗ,
Земля – Луна + Солнце – ИСЗ.
А также численные значения коэффициента Q для двух значений большой полуоси:
a* = 8,
a* = 16.

Таблица 1. Численные значения параметра подобия возмущений LD и коэффициента Q

ИНТЕРБОЛ ХВОСТОВОЙ ЗОНД
a* = 16.12, ε* = 0.12, Lc = 6.42, Lb = 4.11
(03/08/1995 - 16/10/2000)
М
S
Т
1995
2013
2000
Эволюция радиуса перигея и время существования, рассчитанные с учетом гравитационных возмущений от Луны (M) и Солнца (S) отдельно и совместно (T)

ИНТЕРБОЛ ХВОСТОВОЙ ЗОНД
a* = 16.12, ε* = 0.12, Lc = 6.42, Lb = 4.11
(03/08/1995 - 16/10/2000)
Таблица 2. Значения времени баллистического существования (в годах), рассчитанные численно и аналитически