Геометрия. Подобие треугольников.

Определение!
Преобразование фигуры F в фигуру F’ – называется преобразованием подобия, если при этом расстояние между точками изменяется в одно и тоже число раз.
О
Y’
Y
X
X’
x’y’=2xy
x’y’=kxy
k>0 гомотетия есть преобразование подобия.

Определение!
Два треугольника подобны, если у них соответствующие углы равны, а стороны пропорциональны.
АВ
A’B’
=
BC
B’C’
AC
A’C’
=

Теорема!
I признак подобия
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то эти треугольники подобны.
II признак подобия
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами равны, то эти треугольники подобны.

Теорема!
III признак подобия
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники подобны.
АВ
A’B’
=
BC
B’C’
AC
A’C’
=
= К
В
А
С
A’
B’
C’

Теорема!
Прямая, параллельная одной из сторон треугольника, отсекает треугольник, подобный данному.
Дано:
АВС
NK //AB
Доказать:
NKC ABC
A
B
C
K
N
Рассмотрим
NKC и ABC
С – общий
BAC = KNC – как соответственные при параллельных AB, NK и секущей AC.
NKC ABC по двум углам.

Подобие прямоугольных треугольников.
Теорема!
Для подобия двух прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу.
А
О
С
В
СО=
СВ=
АС=

А теперь решим задачи!
4.