И. А. Шилин А. А. Александров В. В. Китюков

Второй этап исследования посвящен вычислению (с точностью до изоморфности) групп гомоморфизмов для любой пары групп G и H, где H ⎯ абелева группа и порядки групп G и H не выше 20. Группа состоит из гомоморфизмов , а ее групповой операцией является отображение , где
.

На этом этапе
составлены файлы в формате txt, содержащие описания таблиц Кэли для всех групп, удовлетворяющих указанным выше условиям,
составлена достаточно эффективная программа на языке Турбо Паскаль, позволяющая максимально уменьшить число переборов отображений вида , для которых выполняются необходимые условия гомоморфизмов, и отобрать те из отображений, которые являются гомоморфизмами,
для пар групп G и H вычислены периоды всех полученных гомоморфизмов, что, в свою очередь, позволило определить, к какому классу изоморфных групп относится группа .

В качестве примера того, как проходили вычисления, анализ результатов и формулирование итогов, рассмотрим решенную нами задачу о группах , где
⎯ диэдральная группа, состоящая из 8 элементов.
На первом этапе решения для каждой группы H, занумеровав ее элементы, мы получили описание групповой операции в виде массива размера , где ⎯ порядок группы. Некоторые такие массивы были получены с помощью специально написанных программ на Турбо Паскале.

В частности, для группы массив, найденный с помощью такой программы, имеет вид
Указанные массивы были оформлены в виде txt-файлов и записаны в директорию c:/homo/group.

Далее была создана программа, перебирающая те из отображений , которые удовлетворяют необходимым условиям гомоморфизма . Для каждого такого отображения проверяется выполнимость условия, заложенного в определение гомоморфизма. Программа спрашивает пользователя названия групп G и H, по этим названиям находит в директории c:/homo/group нужный txt-файл, проводит вычисления, а результат, то есть список гомоморфизмов, записывает для каждой группы H в специально созданный программой txt-файл в директории c:/homo/result.

Например, для случая получаются гомоморфизмы (файл c:/homo/result/d8/z16-4^2)
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 3 3 3 3
1 1 1 1 9 9 9 9
1 1 1 1 11 11 11 11
1 3 1 3 1 1 3 3
1 3 1 3 3 3 1 1
1 3 1 3 9 9 11 11
1 3 1 3 11 11 9 9
1 9 1 9 1 1 9 9
1 9 1 9 3 3 11 11
1 9 1 9 9 9 1 1
1 9 1 9 11 11 3 3
1 11 1 11 1 1 11 11
1 11 1 11 3 3 9 9
1 11 1 11 9 9 3 3
1 11 1 11 11 11 1 1

Учитывая число получившихся гомоморфизмов и вычисляя в некоторых случаях их периоды, мы определили, к какому классу по изоморфности относится получившаяся группа гомоморфизмов.
Так, приведенный выше пример означает, что группа состоит из 16 элементов.

В то же время из таблицы Кэли для группы
видно, что период любого гомоморфизма, кроме единичного
равен 2. Следовательно, .