Качество автоматических систем управления

2
Показатели качества в переходном режиме
Все показатели качества делятся на показатели качества в переходном режиме и показатели качества в установившемся режиме.
Показатели качества в переходном режиме делятся на прямые и косвенные показатели.
Косвенные делятся:
- на корневые;
- частотные;
- интегральные.
При оценке качества в переходном режиме обращают внимание на форму переходного процесса. Различают следующие типовые переходные процессы:
монотонный переходный процесс, когда dh/dt не меняет знак;
апериодический переходный процесс, когда dh/dt меняет знак один раз;
колебательный переходный процесс, когда dh/dt меняет знак много раз.

3
Прямые оценки качества СУ определяются непосредственно по переходным процессам, вызванными изменением задания или возмущения. Переходный процесс устойчивой системы всегда затухает и в зависимости от характера затухания подразделяется на монотонный (апериодический) и колебательный
Прямые показатели качества
Основные прямые показатели качества переходного процесса:
1. Время переходного процесса tp .
Перерегулирование σ .
Степень затухания колебаний ψ.
Время достижения первого максимума tmax.
Статическая ошибка ес
Запаздывание τ.
Динамический коэффициент регулирования Rd .
Период колебаний Tk .
Колебательный переходный процесс
Тk

4
1. Время переходного процесса tp (время регулирования) - минимальное время, по истечении которого отклонение выходной величины y(t) от установившегося значения yуст не превышает некоторой заданной величины ±q.
Математически это определение можно записать следующим образом:
Значение q можно выбирать из диапазона q=(0,01÷0,1)ууст, хотя обычно принимают q = ±5 % ууст или (0.05·ууст).
Этот показатель характеризует скорость протекания переходного процесса. Если кривая переходного процесса монотонна, то этот показатель является единственным.
2. Перерегулирование σ - разность между максимальным значением ymax переходной характеристики и её установившимся значением yуст. Обычно перерегулирование выражают как отношение максимального отклонения управляемой величины А1 от установившегося значению к этому установившемуся значению, выраженное в процентах:
σ =
В большинстве случаев требуется, чтобы перерегулирование не превышало 10 – 30 %. У апериодического переходного процесса можно обеспечить нулевое перерегулирование. Увеличение быстродействия обычно приводит к увеличению перерегулирования.
3. Степень затухания колебаний ψ определяется по формуле:
где А1 и А3 - 1-я и 3-я амплитуды переходной кривой. Чем ψ ближе к 1 тем система лучше гасит колебания, но обычно довольствуются ψ > 0,7 ÷ 0,8. При ψ =1 в системе нет колебаний, переходной процесс апериодический.
4. Статическая ошибка ес (установившаяся ошибка ) - это отклонения установившегося значения выходной величины у(t)=yуст от заданной х:
ес = х - ууст.
Статическая ошибка должна стремиться к нулю. Чем она меньше тем система точнее.

5. Время достижения первого максимума tmax определяется по графику.
6. Запаздывание τ - время от момента нанесения воздействия на систему до начала изменения выходной величины.
7. Динамический коэффициент регулирования Rd, %, который определяется из формулы:
Rd = (у1/уо)·100.
Величина Rd характеризует степень воздействия регулятора на процесс, т. е. степень понижения динамического отклонения в системе с регулятором и без него (см. рис.)
5
Переходные процессы по возмущению в системе с регулятором и без регулятора
Динамический коэффициент выражается в процентах и чем он меньше, тем выше качество регулирования.
8. Период колебаний Тk (для колебательных процессов) - расстояние между соседними максимумами или минимумами.

6
Косвенные показатели качества
Корневые показатели качества.
Многие свойства системы можно определить при проектировании по расположению корней характеристического полинома на комплексной плоскости. Прежде всего, все корни si для устойчивой системы должны находиться в левой полуплоскости, то есть слева от мнимой оси. На рисунке знаком отмечены положения корней характеристического уравнения.
Чем дальше от мнимой оси расположены корни характеристического уравнения, тем дальше от границы устойчивости находится система и тем выше ее быстродействие.
Для оценки быстродействия системы используют корневой показатель - степень устойчивости η , а для оценки скорости затухания колебаний в системе – колебательность или степень колебательности μ.
1. Степень устойчивости η - это расстояние от мнимой оси до ближайшего корня η = min , где Re(si)=αi - действительная часть корня si.
Степень устойчивость позволяет оценить время регулирования с помощью следующей зависимости:
2. Колебательность μ. Колебательность рассчитывается через угол γ : μ = tg(γ/2). Для определения γ проводятся два луча, которые ограничивают все корни на комплексной плоскости, а γ - угол между этими лучами. Колебательность может быть определена также по формуле:
μ = mах
Если μ =0, то переходный процесс будет апериодическим.
При проектировании систем управления обычно требуется обеспечить быстродействие не ниже заданного (степень устойчивости не меньше заданной min η ) и колебательность не выше заданной max μ.
Корневые показатели качества

7
Поведение реального объекта управления всегда несколько отличается от рассматриваемой модели, более того, его динамика может меняться во времени. Поэтому недостаточно спроектировать просто устойчивую систему, нужно чтобы система сохранила устойчивость при некоторых изменениях параметров объекта и регулятора в сравнении с расчетными, то есть обладала запасами устойчивости.
Обычно рассматривают запасы устойчивости по амплитуде ΔΑ и по фазе Δϕ.
Запас устойчивости по амплитуде ΔΑ – это дополнительное усиление контура.
Запас устойчивости по фазе Δϕ – это дополнительный сдвиг фазы, который необходим, чтобы вывести систему на границу области устойчивости.
Запас устойчивости по фазе Δϕ определяется на частоте среза ωc, где A(ωc) = 1. Запас по фазе должен быть не менее 30°.
Запасы устойчивости ΔΑ и Δϕ можно определить графически, для этого строят АФЧХ разомкнутой системы (см. рисунок).
Частотные показатели качества
Запас устойчивости по амплитуде ΔΑ определяется по точке пересечения АФЧХ с отрицательной действительной полуосью. Для определения Δϕ строится окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Запас Δϕ определяется по точке пересечения с этой окружностью.
Запас по амплитуде также вычисляется по формуле: , где Ag < 1 – значение амплитудной характеристики на частоте ωg, где фазовая характеристика равна −180°. В практических задачах нужно обеспечивать запас по амплитуде не менее 6 дБ.
АФЧХ разомкнутой системы

8
Еще одной частотной характеристикой оценки качества системы является показатель колебательности M. Он определяется по АЧХ замкнутой системы как отношение ее максимума Аmax к значению АЧХ на нулевой частоте A0:
Частота (ωp) на которой АЧХ принимает максимальное значение Amax, называется резонансной.
Полоса частот от нулевой до частоты, на которой убывающая АЧХ достигает значения 0,707А(0), называется полосой пропускания звена или системы.
Время регулирования может быть оценено по частоте среза ЛАЧХ, т. е. по частоте (ωсp) на которой убывающая ЛАЧХ пересекает ось абсцисс, а АЧХ становится меньше единицы
АЧХ замкнутой системы
Показатели качества связаны между собой определенными соотношениями:
ωp

Интегральные показатели качества
9
Для обобщенной оценки быстроты затухания и величины отклонения регулируемой величины от заданной в виде единого числового значения используют интегральные оценки качества.
1. Линейная интегральная оценка:
Это простейшая интегральная оценка, которая определяет площадь между заданным значение выходной величины х(t) и её текущим значением у(t) (е(t) =х(t) - у(t)).
Чем оценка I1 будет меньше, тем быстрее затухает переходный процесс и меньше величина ошибки. Однако интегральная оценка I1 годится только для апериодических (монотонных) переходных процессов (рис.1 13, а). Если же имеют место колебания (рис.113, б), то алгебраическое сложение площадей может привести к ситуации, когда при больших колебаниях интеграл будет маленьким или равным нулю.
Рис. 113. Переходные процессы: а – апериодический; б - колебательный
В целях устранения этого недостатка на практике чаще всего применяют квадратичную интегральную оценку.

10
2. Квадратичная интегральная оценка:
Этот показатель не зависит от знака е(t) и, следовательно, может быть применен как для монотонных, так и для колебательных процессов. Вторая степень убирает знак, кроме того, большая ошибка в квадрате будет ещё больше, а маленькая ещё меньше.
Переходные процессы с разными показателями колебательности и различной длительностью переходных процессов могут дать равные значения критерия. Чтобы учесть скорость изменения переходного процесса применяют комплексную квадратичную интегральную оценку I3, учитывающую не только величину ошибки, но и скорость ее изменения.
3. Комплексная квадратичная интегральная оценка:
где – β весовой коэффициент, который определяет значимость второго слагаемого подынтегральной функции.
Использование интегральной квадратичной оценки I2 в качестве минимизируемого критерия качества синтеза системы регулирования может привести к большим перерегулированиям переходного процесса (до 20 % от установившегося значения y(∞). При минимизации комплексной квадратичной интегральной оценки I3 ограничиваются как величина ошибки е(t), так и её скорость . В результате чего получают достаточно быстрые и плавные переходные процессы.
Невозможно одновременно обеспечить наилучшие показатели качества по всем интегральным критериям. Например, увеличение запаса устойчивости системы, приводит к увеличению динамической ошибки, уменьшения показателя колебательности приводит к увеличению времени переходного процесса. Поэтому при синтезе систем регулирования используют несколько показателей качества. Для одного из них, называемого критерием оптимальности, добиваются экстремального (минимального или максимального значения), а для других вводят ограничения в виде неравенств.

11
Показатели качества в установившемся режиме
Характеристикой качества системы в установившемся режиме является установившаяся ошибка.
Когда внешние воздействия являются функциями времени, установившаяся ошибка как вынужденная составляющая ошибки также является функцией времени. Установившаяся ошибка eв(t) определяется следующим образом :
Если на систему действуют два внешних воздействия - задающие воздействия x(t) = g(t) и возмущения f(t), то установившуюся ошибку можно представить в виде суммы :
eв(t) = eвg(t)+eвf(t),
где eвg(t) и eвf(t) - установившиеся ошибки от задающего воздействия g(t) и возмущения f(t) соответственно.
Числовыми показателями качества в установившемся режиме являются коэффициенты ошибок, которые определяются следующим образом.
Установившуюся ошибку от задающего воздействия - eвg(t) можно представить в виде ряда:
Здесь Weg(s) - передаточная функция относительно входа g(t) и выхода e(t). Коэффициенты Cgi (i = 0, 1, 2,...) называются коэффициентами ошибки по задающему воздействию.

12
Аналогично можно представить установившуюся ошибку от возмущения - eвf(t):
Здесь Wef(s) - передаточная функция относительно входа f(t) и e(t). Предполагается, что возмущение не приложено в одной точке с задающим устройством. Коэффициенты Cfi (i = 0,1, 2,...) называются коэффициентами ошибки по возмущению.
Первые три коэффициента ошибок имеют специальные названия: Сgо и Cfо - коэффициенты позиционной ошибки; Сg1 и Gf1 - коэффициенты скоростной ошибки; Сg2 и Gf2 - коэффициенты ошибки по ускорению.
Установившаяся ошибка при постоянном внешнем воздействии называется статической ошибкой. Система называется статической, если статическая ошибка отлична от нуля, и астатической, если статическая ошибка равна нулю.
Можно также говорить о статической и астатической системах относительно того или иного внешнего воздействия.
Система называется статической относительно задающего воздействия (возмущения), если статическая ошибка от задающего воздействия (возмущения) отлична от нуля, и астатической относительно задающего воздействия (возмущения), если статическая ошибка от задающего воздействия (возмущения) равна нулю.
Формулы ошибок eвg(t) и eвf(t) при постоянных g(t) = const, f(t) = const принимают вид:
Отсюда следует, что система будет статической относительно воздействия g (возмущения f), если Сgо ≠ 0 (Сfо ≠ 0 ), и астатической относительно задающего воздействия g (возмущения f), если Сgо = 0 (Сfо = 0).

13
Астатическая система относительно задающего воздействия обладает астатизмом n-го порядка, если
Сgо = Сg1 = … = Сgn-1 = 0, Сgn ≠ 0.
Аналогично определяется астатическая система с астатизмом n-го порядка относительно возмущения. Если система обладает астатизмом n-го порядка, то коэффициенты ошибок Cgi (Cfi) при i = 1, 2,..., n можно определить следующим образом: