Криптоанализ RSA

RSA:
Берем p,q- два больших простых числа(512 бит)
n=pЧq, ϕ(n)=(p-1)Ч(q-1)
e<ϕ(n) ,такое что gcd(e, ϕ(n))=1
d-? : eЧd=1 (mod ϕ(n))
(e,n)-открытый ключ, d-закрытый ключ
Задача:
Как зная e и ϕ(n) найти за полиномиальное время такое d(такое что eЧd=1 (mod ϕ(n))).

Encryption and Digital Signature
Шифрование:
MОZn(секретное сообщение)
C=M^e(mod n) то, что мы посылаем получателю.
D=С^d(mod n) D=M, D является расшифровкой C
Цифровая подпись:
М-сообщение или Hash от него
Мы посылаем (M,S), где S=M^d(mod n)–подпись.
Каждый может проверить, что S^e=M, но не может сам придумать по M такое S.

Полезный теоретический факт
Пусть (N,e)-публичный ключ, d- закрытый ключ. Тогда зная (N,e,d) можно разложить N на простые множители N=pЧq за полиномиальное время.

Полезный теоретический факт
Пусть (N,e)-публичный ключ, d- закрытый ключ. Тогда зная (N,e,d) можно разложить N на простые множители N=pЧq за полиномиальное время.
Задача:
Докажите этот факт.

Теоретический факт
Открытый вопрос: Пусть даны N,e:gcd(e,ϕ(n))=1 и F:Zn->Zn, F(x)=x^(1/e)(mod n) – вычисляется за единичное время. Существует ли тогда полиномиальный алгоритм, раскладывающий N на простые множители.(F(x)-’оракул’)
Результат: для малых e ответ нет. Boneh и Venkatesan доказали,что в определенной модели, ответ ‘Да’ на вопрос для малых e даст нам эффективный алгоритм разложения N.

Методы разложения N на простые сомножители
Trial Division
Pollard’s p-1 Method
Pollard’s rho Method
Elliptic Curve Method
Quadratic Sieve Method
Number Field Sieve Method

Trial Division
Пытаемся разделить n на все простые числа от 1 до Цn.

Trial Division
Пытаемся разделить n на все простые числа от 1 до Цn.
Плохой метод (работает log(n)*2n^1/2)

Trial Division
Пытаемся разделить n на все простые числа от 1 до Цn.
Плохой метод (работает log(n)*2n^1/2)
Хороший метод так, как больше чем у 91% чисел есть простой делитель меньший 1000.

Pollard’s p-1 Method
n=pq , у p-1 все простые делители k- произведение достаточно больших степеней всех простых чисел
Пусть a=2. p|(a^k-1), значит мы можем найти p, как gcd(n, (a^k-1)).

Pollard’s rho(ρ) Method
Если у нас есть n исходов и 1.2*(n^1.2) испытаний то вероятность того, что 2 элемента совпали >50%.(birthday paradox)
Теперь придумаем какую-нибудь функцию f: Zn->Zn, которая ведет себя в Zn ‘рандомно’(f(x)=x^2+1(mod n)-подойдет)
Начнем выписывать последовательность x1,x2,x3,… , где xi+1=f(xi), параллельно будем считать gcd(xi-xj,n) для всех i и j – если gcd не 1 то мы разложили n.

Pollard’s rho(ρ) Method
Замечание Если считать для всех пар i и j gcd(xj-xi,n), то мы сделаем слишком много операций.

Pollard’s rho(ρ) Method
Замечание Если считать для всех пар i и j gcd(xj-xi,n), то мы сделаем слишком много операций.
Вопрос: Как этого избежать?

Pollard’s rho(ρ) Method
Замечание Если считать для всех пар i и j gcd(xj-xi,n), то мы сделаем слишком много операций.
Вопрос: Как этого избежать?
Ответ: Проверять только для j=2i.