Круги Эйлера

Круги Эйлера

Один из величайших математиков петербургский академик, за свою долгую жизнь он написал более 850 научных работ. В одной из них появились эти круги. Эйлер писал, что «они очень подходят для того, чтобы облегчит наши размышления».
Леонардо Эйлер
1707-1783

Задача №1
В классе 35 учеников. Из них 20 занимаются в математическом кружке, 11 – в биологическом, 10 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекаются математикой?

Решение
(По рисунку) в левом кругу (М) помещены все математики, а в правом – все биологи, те ребята, которые не ходят на кружки и помещены они в самый большой круг. Теперь посчитаем:
Внутри большого круга 35 ребят.
Внутри 2-х меньших 35-10=25 ребят.
Внутри М находятся 20 ребят.
Внутри Б находятся 25-20=5 биологов (не посещающих математический кружок)
Внутри МБ находятся 11-5=6 биологов увлекающиеся математикой.
М
Б
МБ

Задача №2
В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 10 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок, и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

Решение
(По рисунку) Д – драмкружок, Х – хор, С – спортсмены.
5+3+3=11спортсменов посещают хор и драмкружок
тогда 22-11=11 увлекаются только спортом
70-12-7-19-5-3-3-11=10 ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке.
Х
С
Д
ДХС
12
19
10-3=7
3
8-3=5
6-3=3
22-5-3-3=11

Задача №3
Пол комнаты площадью 12 м^2 покрыт тремя коврами: площадь одного ковра 5 м^2, другого – 4м^2 и третьего – 3 м^2. Каждые два ковра перекрываются на площади 1,5 м^2, причём 0,5 м^2 из этих полутора квадратных метров приходиться на участок пола, где перекрываются все три ковра.
Какова площадь пола, не покрываемая коврами?
Какова площадь участка, покрытого одним только первым ковром?
?

Решение
На рисунке пол комнаты изображён в виде прямоугольнике. Круг А изображает больший ковер,
круг В – средний и
круг С – меньший.
Ответ на первый
вопрос 4 м^2.
Ответ на второй
вопрос 2,5 м^2.
А
В
С
5-1-0,5-1=2,5
4-1-0,5-1=1,5
3-1-0,5-1=0,5
1
1
АВС
0,5

Задача №4
В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 – в хоккей, 18 – в волейбол. Увлекаются двумя видами спорта - баскетболом и хоккеем – четверо, баскетболом и волейболом – трое, волейболом и хоккеем – пятеро. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни волейболом, ни хоккеем.
Сколько ребят увлекается одновременно тремя видами спорта?
Сколько ребят увлекается лишь одним из этих видов спорта?

Решение
Большой круг изображает всех учащихся класса, а три меньших круга Б, Х и В изображают соответственно баскетболистов, хоккеистов и волейболистов. Фигура БХВ обозначает ребят, увлекающихся всеми тремя видами спорта – z. Одним баскетболом занимаются 16-(4+z+3)=9-z, хоккеем 8-z, волейболом 10-z. Составляем уравнение:
38=3+(9-z)+(8-z)+(10-z)+4+3+5+z, откуда z=2
3
Б
Х
В
9-Z
8-Z
4
Z
3
5
10-Z