LinAl_Lektsia_5

Система лин. однор. уравнений. Фундаментальная система решений
Общее решение неоднородной системы
Псевдообратные матрицы
Решение СЛУ с помощью обобщенно обратных матрицы – псевдорешение.

Продолжение. О решении однородной СЛУ

Решение СЛОУ
Всякая система n-мерных векторов, состоящая более чем из n векторов, будет линейно зависимы.
Вывод: из числа решений однородной системы (1), являющихся n-мерными векторами, можно выбрать конечную максимальную линейно независимую систему векторов. (Максимально в том смысле, что всякое другое решение системы (1) будет линейной комбинацией решений, входящих в эту выбранную систему).
Определение. Всякая максимальная линейно независимая система решений однородной системы (1) называется фундаментальной системой решений.
Если ранг r матрицы из коэффициентов системы линейных однородных уравнений (1) меньше числа неизвестных n, то всякая фундаментальная система решений системы (1) состоит из n-r решений.
Число свободных неизвестных равно n-r

Пример. Фундаментальная система решений СЛОУ

О множестве решений СЛНОУ

Пример (3.236. Демидович)

Псевдообратная матрица

Псевдообратная матрица

Псевдообратная матрица

Основные свойства псевдообратной матрицы

Свойства «обратимости»

Разложение по матрицам полного ранга

Разложение по матрицам полного ранга

Разложение по матрицам полного ранга

Слайд 1

Псевдообратная матрица и аппроксимация

Нормальное псевдорешение СЛУ

Слайд 1

Слайд 1

Заключение. О применении СЛУ

Заключение. О применении СЛУ

Домашняя задача
[Демидович]
Решить неоднородную систему используя фунд. сист. реш. однородной системы. (Подсказка. Найти частное решение здесь положив, например, x_3=x_4=x_5=0, или еще как-то).

Домашняя задача
Задачи из книги Aleskerov_Piontkovski. Книгу Вам отправлял!
Вычислить псевдообратные матрицы.

Домашняя задача
В задаче 7 нужно найти скелетное разложение матрицы A,
т.е. A=FG.
Задача 8 решается так: сперва находится разложение FG указанной матрицы, а потом применяется теорема 3.