Линейное программирование

Теория принятия решений
ПетрГУ, А.П.Мощевикин, 2004 г.
Пример задачи ЛП
Пример – Оптимизация размещения побочного производства лесничества
Лесничество имеет 24 га свободной земли под паром и заинтересовано извлечь из нее доход. Оно может выращивать саженцы быстрорастущего гибрида новогодней ели, которые достигают спелости за один год, или бычков, отведя часть земли под пастбище.
Деревья выращиваются и продаются в партиях по 1000 штук. Требуется 1.5 га для выращивания одной партии деревьев и 4 га для вскармливания одного бычка. Лесничество может потратить только 200 ч. в год на свое побочное производство. Практика показывает, что требуется 20 ч. для культивации, подрезания, вырубки и пакетирования одной партии деревьев. Для ухода за одним бычком также требуется 20 ч. Лесничество имеет возможность израсходовать на эти цели 6 тыс. руб. Годовые издержки на одну партию деревьев выливаются в 150 руб. и 1,2 тыс. руб. на одного бычка. Уже заключен контракт на поставку 2 бычков. По сложившимся ценам, одна новогодняя ель принесет прибыль в 2,5 руб., один бычок - 5 тыс. руб.

Теория принятия решений
ПетрГУ, А.П.Мощевикин, 2004 г.
Постановка задачи
1. В качестве показателя эффективности целесообразно взять прибыль за операцию (годовую прибыль с земли в рублях).
2. В качестве управляемых переменных задачи следует взять:
x1 - количество откармливаемых бычков в год;
x2 - количество выращиваемых партий быстрорастущих новогодних елей по 1000 шт. каждая в год.
3. Целевая функция: 5000 x1 + 2500 x2 ? max, где 5000 - чистый доход от одного бычка, руб.;
2500 - чистый доход от одной партии деревьев (1000 шт. по 2,5 руб.).
4. Ограничения:
4.1. По использованию земли, га: 4 x1 + 1,5 x2 ≤ 24
4.2. По бюджету, руб.: 1200 x1 + 150 x2 ≤ 6000
4.3. По трудовым ресурсам, ч: 20 x1 + 20 x2 ≤ 200
4.4. Обязательства по контракту, шт.: x1 ≥ 2
4.5. Областные ограничения: x1 ≥ 0, x2 ≥ 0

Теория принятия решений
ПетрГУ, А.П.Мощевикин, 2004 г.
Графическое решение задачи ЛП
Отображая на графике прямые, соответствующие следующим уравнениям,
4 x1 + 1,5 x2 = 24
1200 x1 + 150 x2 = 6000
20 x1 + 20 x2 = 200
x1 = 2
x2 = 0
заштриховываем область, в точках которой выполняются все ограничения.
Каждая такая точка называется допустимым решением, а множество всех допустимых решений называется допустимой областью.
Очевидно, что решение задачи ЛП состоит в отыскании наилучшего решения в допустимой области, которое, в свою очередь, называется оптимальным. В рассматриваемом примере оптимальное решение представляет собой допустимое решение, максимизирующее функцию
W=5000 x1 + 2500 x2.
Значение целевой функции, соответствующее оптимальному решению, называется оптимальным значением задачи ЛП.

Теория принятия решений
ПетрГУ, А.П.Мощевикин, 2004 г.
Графическое решение задачи ЛП

Теория принятия решений
ПетрГУ, А.П.Мощевикин, 2004 г.
Графическое решение задачи ЛП
Перебор всех угловых точек области допустимых решений приводит к нахождению максимального дохода в размере 34 тыс. руб. (W=5000x1+2500x2), которое лесничество может извлечь, выращивая 3,6 бычка и 6,4 партии новогодних елей.
Целочисленные методы (например, перебор) дают x1=3 и x2=6, что приводит к доходу в 30 тыс. руб., x1=4 и x2=5 приводит к более оптимальному результату в 32,5 тыс. руб., точка x1=3 и x2=7 приводит к аналогичному результату.
Графический метод ввиду большой размерности реальных практических задач ЛП достаточно редко применяется, однако он позволяет ясно уяснить одно из основных свойств ЛП - если в задаче ЛП существует оптимальное решение, то по крайней мере одна из вершин допустимой области представляет собой оптимальное решение.
Несмотря на то, что допустимая область задачи ЛП состоит из бесконечного числа точек, оптимальное решение всегда можно найти путем целенаправленного перебора конечного числа ее вершин. Рассматриваемый далее симплекс-метод решения задачи ЛП основывается на этом фундаментальном свойстве.

Теория принятия решений
ПетрГУ, А.П.Мощевикин, 2004 г.
Решение задачи ЛП в MS Excel
Одной из встроенных функций редактора электронных таблиц MS Excel (необходимо отметить галочку во время установки MS Office) является "Поиск решения". Этот пакет позволяет быстро решать задачи линейного и нелинейного программирования.

Теория принятия решений
ПетрГУ, А.П.Мощевикин, 2004 г.
Задача ЛП в стандартной форме
Задача ЛП в стандартной форме с m ограничениями и n переменными имеет следующий вид:
W = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn ? min (max)
при ограничениях
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1;
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2;
...
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm;
x1≥0; x2≥0;...; xn≥0
b1≥0; b2≥0;...; bm≥0
В матричной форме
W = cx ? min (max)
при ограничениях
Ax = b; x≥0; b≥0,
где
A - матрица размерности m*n,
x - вектор-столбец переменных размерности n*1,
b - вектор-столбец ресурсов размерности m*1,
с - вектор-строка оценок задачи ЛП 1*n.

Теория принятия решений
ПетрГУ, А.П.Мощевикин, 2004 г.
Преобразование неравенств
Ограничения в виде неравенств можно преобразовать в равенства при помощи введения так называемых остаточных или избыточных переменных.
Уравнение из предыдущего примера
4x1 + 1,5x2 ≤ 24
можно преобразовать в равенство при помощи остаточной неотрицательной переменной
4x1 + 1,5x2 + x3 = 24.
Переменная x3 неотрицательна и соответствует разности правой и левой частей неравенства.
Аналогично
x1 ≥ 2
можно преобразовать путем введения избыточной переменной x4:
x1 - x4 = 2.

Теория принятия решений
ПетрГУ, А.П.Мощевикин, 2004 г.
Преобр-е неогр. по знаку перем-х
Преобразование неограниченных по знаку переменных
Переменные, принимающие как положительные, так и отрицательные значения, следует заменять разностью двух неотрицательных:
x = x+ - x-; x+≥0; x- ≥ 0.
Пример.

Теория принятия решений
ПетрГУ, А.П.Мощевикин, 2004 г.
Симплекс-метод ЛП
Симплекс-метод представляет собой итеративную процедуру решения задач ЛП, записанных в стандартной форме, система уравнений в которой и с помощью элементарных операций над матрицами приведена к каноническому виду:
x1 + a1,m+1xm+1 + ... + a1sxs+...+ a1nxn = b1;
x2 + a2,m+1xm+1 + ... + a2sxs+...+ a2nxn = b2;
...
xm + am,m+1xm+1 + ... + amsxs+...+ amnxn = bm.
Переменные x1, x2,...,xm, входящие с единичными коэффициентами только в одно уравнение системы и с нулевыми - в остальные, называются базисными. В канонической системе каждому уравнению соответствует ровно одна базисная переменная. Остальные n-m переменных (xm+1, ...,xn) называются небазисными переменными.
Для приведения системы к каноническому виду можно использовать два типа элементарных операций над строками:
Умножение любого уравнения системы на положительное или отрицательное число.
Прибавление к любому уравнению другого уравнения системы, умноженного на положительное или отрицательное число.

Теория принятия решений
ПетрГУ, А.П.Мощевикин, 2004 г.
Симплекс-метод ЛП
Запись задачи в виде уравнений
x1 + a1,m+1xm+1 + ... + a1sxs+...+ a1nxn = b1;
x2 + a2,m+1xm+1 + ... + a2sxs+...+ a2nxn = b2;
...
xm + am,m+1xm+1 + ... + amsxs+...+ amnxn = bm.
тождественна записи в виде матриц
1 0 .. 0 a1,m+1 .. a1s .. a1n x1 b1
0 1 .. 0 a2,m+1 .. a2s .. a2n x2 = b2
. . .. . . .. . .. . .. ..
0 0 .. 1 am,m+1 .. ams .. amn xn bm

Теория принятия решений
ПетрГУ, А.П.Мощевикин, 2004 г.
Алгоритм симплекс-метода
1. Выбираем начальное допустимое базисное решение. Базисным решением называется решение, полученное при нулевых значениях небазисных переменных, т.е. xi=0, i=m+1,...,n. Базисное решение называется допустимым базисным решением, если значения входящих в него базисных переменных неотрицательны, т.е. xj = bj ≥ 0, j=1,2,...,m. В этом случае целевая функция примет следующий вид: W=cbxb=c1b1+c2b2+...+cmbm. Заполняем первоначальную таблицу симплекс - метода:

Теория принятия решений
ПетрГУ, А.П.Мощевикин, 2004 г.
Алгоритм симплекс-метода
2. Вычисляем вектор относительных оценок c при помощи правила скалярного произведения сj = сj - cbSj,
где
сb - вектор оценок базисных переменных;
Sj - j-тый столбец из коэффициентов aij в канонической системе, соответствующей рассматриваемому базису.
Дополняем первоначальную таблицу c - строкой.

Теория принятия решений
ПетрГУ, А.П.Мощевикин, 2004 г.
Алгоритм симплекс-метода
3. Если все оценки cj ≤ 0 (cj ≥ 0), i=1,...,n, то текущее допускаемое решение - максимальное (минимальное). Решение найдено.
4. В противном случае в базис необходимо ввести небазисную переменную xr с наибольшим значением cj вместо одной из базисных переменных (см. таблицу).

Теория принятия решений
ПетрГУ, А.П.Мощевикин, 2004 г.
Алгоритм симплекс-метода
5. При помощи правила минимального отношения min(bi/air) определяем переменную xp, выводимую из базиса. Если коэффициент air отрицателен, то bi/air=∞. В результате пересечение столбца, где находится вводимая небазисная переменная xr, и строки, где находится выводимая базисная переменная xp, определит положение ведущего элемента таблицы.
6. Применяем элементарные преобразования для получения нового допускаемого базового решения и новой таблицы. В результате ведущий элемент должен равняться 1, а остальные элементы столбца ведущего элемента принять нулевое значение.
7. Вычисляем новые относительные оценки с использованием правила скалярного преобразования и переходим к шагу 4.

Теория принятия решений
ПетрГУ, А.П.Мощевикин, 2004 г.
Пример реш-я симплекс-методом
Пример – Оптимизация размещения побочного производства лесничества
3. Целевая функция: 5000 x1 + 2500 x2 ? max,
4. Ограничения:
4.1. По использованию земли, га: 4 x1 + 1,5 x2 ≤ 24
4.2. По бюджету, руб.: 1200 x1 + 150 x2 ≤ 6000
4.3. По трудовым ресурсам, ч: 20 x1 + 20 x2 ≤ 200
4.4. Обязательства по контракту, шт.: x1 ≥ 2
4.5. Областные ограничения: x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Приведем задачу к стандартной форме:
4 x1 + 1,5 x2 +x3= 24
1200 x1 + 150 x2 +x4= 6000
20 x1 + 20 x2 +x5= 200
x1 – x6= 2
x1 ... x6 ≥ 0
Первые три уравнения имеют соответственно по базисной переменной x3, x4, x5, однако в четвертом она отсутствует ввиду того, что при переменной x6 стоит отрицательный единичный коэффициент. Для приведения системы к каноническому виду используем метод искусственных переменных.
x1 – x6+x7= 2, ввели искусственную переменную x7.

Теория принятия решений
ПетрГУ, А.П.Мощевикин, 2004 г.
Рекомендации
Если были введены искусственные переменные, то решение задачи идет в два этапа:
1. целевую функцию на первом этапе симплекс метода формируют в виде суммы этих искусственных переменных:
W=Σxискусств.? min
2. на втором этапе в случае максимизации основной функции и использования искусственных переменных:
W= ΣCixi?max
В случае, если основная целевая функция минимизируется, двухэтапный метод симплекс поиска применять не следует, можно сформировать общую целевую функцию в следующем виде.
W= ΣCixi + Σxискусств.? min

Теория принятия решений
ПетрГУ, А.П.Мощевикин, 2004 г.
Решение примера
1 этап симплекс-метода: W=x7 ? min
Шаг 1
Шаг 2

Теория принятия решений
ПетрГУ, А.П.Мощевикин, 2004 г.
Решение примера
1 этап симплекс-метода: W=x7 ? min
Шаг 3
Шаг 4
Cj≥0

Теория принятия решений
ПетрГУ, А.П.Мощевикин, 2004 г.
Решение примера
2 этап симплекс-метода: W=5000 x1 + 2500 x2 ? max
Изменяем базисные переменные в предыдущей таблице и коэффициенты сi целевой функции.
Вариант с заменой х5 на х2 (вводом х2 в базисные переменные) приводит к более быстрому окончанию итераций).
или

Теория принятия решений
ПетрГУ, А.П.Мощевикин, 2004 г.
Решение примера
2 этап симплекс-метода: W=5000 x1 + 2500 x2 ? max
Все значения С строки неположительны, сл. найдено оптимальное решение.
Таким образом, корнями задачи ЛП про размещение побочного производства лесничества будут x1=3.6 бычка и х2=6.4 партий ели, а прибыль – 34000 рублей (без учета целочисленности задачи).