Логические операции

— способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний.
Истинное высказывание в логике обозначается - 1, ложное – 0
Высказывания обозначаются буквами латинского алфавита: А, В, С и т.д.
МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка
Логическая операция

- образуется из высказывания с помощью добавления частицы «не» к сказуемому или использования оборота речи «неверно, что…».
Обозначение инверсии:
НЕ А;
¬ A;
Ā;
NOT А.
МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка
Логическое отрицание (инверсия)
А = Дождя не будет
Ā = Неверно, что дождя не будет. (Дождь будет. )

Истинность высказывания, имеющего форму Ā (вне зависимости от его содержания), определяется по специальной таблице истинности.
Таблица истинности инверсии (неА):
МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка
Логическое отрицание (инверсия) делает истинное высказывание ложным и, наоборот, ложное — истинным.

Графическая иллюстрация инверсии с помощью диаграмм Эйлера — Венна:
А — множество отличников;
Ā — множество неотличников.
МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка
А
Ā

- образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «и».
Обозначение конъюнкции:
A И B;
A ۸ B;
A & B;
A ⋅ B;
A AND B.
МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка
Логическое умножение (конъюнкция)
А = «10 делится на 2»
В = «10 делится на 5» ,
A ۸ B = «10 делится на 2 и на 5».

Таблица истинности конъюнкции:
МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка
Конъюнкция двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны, и ложна, когда хотя бы одно высказывание ложно.

Графическая иллюстрация конъюнкции с помощью диаграмм Эйлера — Венна:
A — множество отличников в классе;
B — множество спортсменов в классе;
A ∩ B — множество отличников, занимающихся спортом.
МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка
B
А

образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «или».
Союз «или» может использоваться:
в неисключающем (объединительном) смысле — операция называется нестрогой дизъюнкцией;
в исключающем (разделительном) смысле — операция называется строгой дизъюнкцией.
МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка
Логическое сложение (дизъюнкция)

Примеры строгих и нестрогих дизъюнкций:
МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка

Под дизъюнкцией будем понимать нестрогую дизъюнкцию, если не оговорено иное.
Обозначение дизъюнкции:
A ИЛИ B;
A OR B;
A ⏐ B;
A ۷ B;
A + B.
МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка

Таблица истинности дизъюнкции:
МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка
Дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно высказывание истинно.

Графическая иллюстрация дизъюнкции с помощью диаграмм Эйлера — Венна:
A — множество отличников в классе;
B — множество спортсменов в классе;
A ∪ B — множество учеников класса, которые являются отличниками или спортсменами.
МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка
B
А

образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если..., то...».
Обозначение импликации:
A → B;
A ⇒ B.
МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка
Логическое следование (импликация)
E = Если клятва дана, то она должна выполняться.
P = Если число делится на 9, то оно делится на 3.

Таблица истинности импликации:
МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка
Импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное (Из истины не может следовать ложь).

Графическая иллюстрация импликации с помощью диаграмм Эйлера — Венна:
(A=0)∩(B=0)
(A=0)∩(B=1)
(A=1)∩(B=1)
МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка
B
А

образуется соединением двух высказываний в одно при помощи оборота речи «…тогда и только тогда, когда...».
Обозначение эквивалентности:
A ≡ B;
A ⇔ B;
A ~ B.
МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка
Логическое равенство (эквивалентность)
Угол называется прямым тогда и только тогда, когда он равен 90°.
Голова думает тогда и только тогда, когда язык отдыхает.

Таблица истинности эквивалентности:
МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка
Эквивалентность двух высказываний истинна или когда оба высказывания истинны или когда оба ложны.

Графическая иллюстрация эквивалентности с помощью диаграмм Эйлера — Венна:
(A=0)∩(B=0)
(A=1)∩(B=1)
МОУ СОШ № 19 "Выбор" г. Находка
B
А