Логические законы

Равносильность
Логические выражения называются равносильными, если их истинностные значения совпадают при любых значениях, входящих в них логических переменных.
В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить равносильные преобразования логических выражений. Приведем соотношения, отражающие эти законы.

Аналоги математических законов
1. Закон двойного отрицания:
А = A
Двойное отрицание исключает отрицание.
2. Переместительный (коммутативный) закон:
— для логического сложения:
А v B = B v A;
— для логического умножения:
A&B = B&A.
Результат операции над высказываниями не зависит от того, в каком порядке берутся эти высказывания.
В обычной алгебре a + b = b + a, a x b = b x a.

Аналоги математических законов
3. Сочетательный (ассоциативный) закон:
— для логического сложения:
(A v B) v C = A v (B v C);
— для логического умножения:
(A&B)&C = A&(B&C).
При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или вообще опускать.
В обычной алгебре:
(a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c,
а x (b x c) = a x (b x c) = a x b x c.

Аналоги математических законов
4. Распределительный (дистрибутивный) закон:
— для логического сложения:
(A v B)&C = (A&C) v (B&C);
— для логического умножения:
(A&B) v C = (A v C)&(B v C).
Определяет правило выноса общего высказывания за скобку.
В обычной алгебре:
(a + b) x c = a x c + b x c.

Законы де Моргана
5. Закон общей инверсии (законы де Моргана):
— для логического сложения
` А v B = A & B ;
— для логического умножения:
А & B = A v B
6. Закон идемпотентности ( от латинских слов idem — тот же самый и potens —сильный; дословно — равносильный):
— для логического сложения:
A v A = A;
— для логического умножения:
A & A = A.
Закон означает отсутствие показателей степени.

Законы констант:
7. Законы исключения констант:
— для логического сложения:
A v 1 = 1, A v 0 = A;
— для логического умножения:
A & 1 = A, A & 0 = 0.
8. Закон противоречия:
A & A = 0.
Невозможно, чтобы противоречащие высказывания были одновременно истинными.
9. Закон исключения третьего:
A v A = 1.
Из двух противоречащих высказываний об одном и том же предмете одно всегда истинно, а второе — ложно, третьего не дано.

Неочевидные законы:
10. Закон поглощения:
— для логического сложения:
A v (A&B) = A;
— для логического умножения:
A & (A v B) = A.
11. Закон исключения (склеивания):
— для логического сложения:
(A&B) v ( A&B) = B;
— для логического умножения:
(A v B)&( A v B) = B.

Задания для самостоятельного выполнения
3.22. Какое тождество записано неверно:
1) X v X = 1;
2) X v X v X v X v X v X = 1;
3) X & X & X & X & X = X.
3.23. Определите, каким законам алгебры чисел (сочетательному; переместительному; распределительному; аналога нет) соответствуют следующие логические тождества:
а) А v B = B v A;
б) (A&B)&C = A&(B&C);
в) А v (В&С) = (А v В)&(А v С);
г) (A v B)&C = (A&C) v (B&C).
3.24. Логическое выражение называется тождественно-ложным, если оно принимает значения 0 на всех наборах входящих в него простых высказываний. Упростите следующее выражение и покажите, что оно тождественно-ложное.
(А&B&B ) v (A&A ) v (B&C&C ).