МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Генеральной совокупностью называют совокупность всех объектов, над которыми производят наблюдение.
Выборочной совокупностью (выборкой) называют часть отобранных из генеральной совокупности объектов.
Объёмом совокупности называют количество объектов в ней.

Способы отбора
1. Отбор, не требующий расчленения генеральной совокупности на части:
а) простой случайный бесповторный отбор,
б) простой случайный повторный отбор.
2. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части:
а) типический,
б) механический,
в) серийный.
Комбинированный отбор.

Наблюдаемые значения xi называют вариантами.
Последовательность вариант, записанных в возра-стающем порядке называют вариационным рядом.
Частотой варианты называют число ni, показываю-щее сколько раз встречается данная варианта.
Относительной частотой варианты называют отношение частоты к объёму выборки: wi=ni /n.
Статистическим распределением выборки называ-ется перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой последовательно соединяют точки (xi, ni).
Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой последовательно соединяют точки (xi, wi).
Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы, а высоты равны отношению частоты попадания в данный интервал к длине интервала.
Аналогично вводится понятие гистограммы относительных частот.
Визуализация данных

Функция распределения случайной величины Х:
F(x) = p(X
Теоретической функцией распределения называют функцию распределения генеральной совокупности.
Эмпирической (выборочной) функцией распределения называют функцию
Обозначим через nx – частоту появления вариант, меньших x. Тогда nx /n – относительная частота появления вариант , меньших x.
F*(x) = nx /n.

Выборочная характеристика
(*)
используемая для нахождения приближённого значения неизвестной генеральной характеристики , называет-ся её точечной статистической оценкой.
,

Выборочная средняя:
2. Если ui = hxi для всех i, где h – некоторое число, то
1. Если ui = xi – c для всех i, где с – некоторое число, то

Выборочная дисперсия:
2. Если ui = hxi для всех i, где h – некоторое число, то
1. Если ui = xi – c для всех i, где с – некоторое число, то
Dв(u) = Dв(x)
Dв(u) = h2Dв(x)

Исправленная выборочная дисперсия:
Выборочное среднее квадратическое отклонение:
Исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение:

1-ая группа: N1 элементов
2-ая группа: N2 элементов
j-тая группа: Nj элементов
…
…
– групповые средние
– групповые дисперсии
D1, D2, …
Dв=Dвнгр+Dмежгр
– внутригрупповая дисперсия
– межгрупповая дисперсия

Метод максимального (наибольшего) правдоподобия
x1, x2, … , xn – выборка

I. Дискретное распределение
p(x1), … , p(xn) – вероятности значений x1, … , xn
Пример. Распределение Пуассона
II. Непрерывное распределение
f(x) – плотность распределения

Алгоритм исследования на максимум
функции правдоподобия
1.
3.
2.
4.

Метод моментов
I. Оценка одного параметра
Пример. Показательное распределение
II. Оценка двух параметров
Пример. Нормальное распределение

– точечная оценка
Интервальной называют оценку, которая опреде-ляется двумя числами – концами интервала:
– формулы для нахождения границ интервала
по выборочным данным

1. Пусть Х – непрерывная случайная величина,
F(x) – функция распределения, f(x) – плотность распределения
(*)
2. Пусть плотность распределения f(x) – чётная функция
(**)
(***)

Алгоритм нахождения доверительных интервалов
или
Вопрос: какой вид имеют функции F(x) и f(x) ?

Пусть генеральная совокупность имеет нормальное распределение

или
Шаг 2.

Пусть генеральная совокупность имеет нормальное распределение

Шаг 2.

Пусть генеральная совокупность имеет нормальное распределение
2. Находим точечную оценку: .

Шаг 2.

Доверительным интервалом является интервал:

Шаг 2.
Способ 2.
Доверительным интервалом является интервал:

Пусть производятся независимые испытания с неиз-вестной вероятностью р появления события А в каждом испытании.
р – ?
2. Находим точечную оценку:
m – число появлений события А при n испытаниях.

– случайная величина, имеющая нормальное
распределение с нулевым математическим
ожиданием и единичной дисперсией
или

Шаг 2.
Доверительным интервалом является интервал:
(р1, р2)

При больших значениях n (порядка сотен)
и
Доверительным интервалом является интервал: