Математика на шахматной доске

Шахматы не только популярная игра, но и источник множества интересных математических задач. Не случайно шахматные термины можно встретить в литературе по комбинаторике , теории графов, кибернетике, теории игр, программированию . Расскажем о нескольких математических задачах на шахматной доске.
Задача 1.
Обойти конем все поля доски,
посетив каждое из них по од-
ному разу.
Этой задачей занимался Л.Эйлер

Приведем три маршрута. На рисунках
они приведены графически (каждые два соседних поля соединены отрезком,
а на рисунке
последовательно пронумерованы от 1 до 64. маршруты на рис. 1 и 3 замкнутые( исходное и конечное поля связаны ходом коня), а маршрут на рис.2 открытый.

Задачи о маршрутах составлены и для других фигур.
На рис.
изображен кратчайший
замкнутый маршрут
ферзя по всей доске,
занимающий 14 ходов.

Задача 2. Сколькими способами можно расставить на доске 8 ферзей так. Чтобы они не угрожали друг другу (никакие два из их не стояли бы на одной линии) ?
Существует 92 требуемые расста-
новки (докажите), причем они
получаются из 12 основных
поворотами и зеркальными
отражениями доски.
Одно из решений:

Сначала выясняется, какое наибольшее число фигур не угрожает на доске друг другу, а затем- сколько имеется расстановок.
Ладей, как и ферзей,
можно расставить максимум
8 (всего 8!=40320 расстановок).
Максимальное число не угрожа-
ющих друг другу слонов равно
14 (256 расстановок),
Коней -32, королей- 16
(281571 расстановка).

Другой класс задач на расстановки связан с расположением минимального числа фигур так, чтобы они держали под ударом все свободные
поля доски. Для этой цели достаточно взять пять ферзей ,
8 ладей,
8 слонов,
12 коней
9 королей

Для охраны доски меньшим, чем пять, числом фигур не обойтись, однако их состав можно «ослабить», заменив двух ферзей ладьями или
даже ладьей с королем или
слоном: