Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

Метод Гаусса или метод исключения неизвестных состоит в последовательном исключении во втором уравнении первой неизвестной, в третьем уравнении первой и второй неизвестных и т. д. Пока не получится система треугольного или трапецеидального вида.
Метод удобнее применять на расширенной матрице

Решить методом Гаусса систему уравнений:
Запишем расширенную матрицу системы:

Сначала смотрим на левое верхнее число:
Почти всегда здесь должна находиться единица. Как организовать единицу? Смотрим на первый столбец – готовая единица у нас есть! Преобразование первое: меняем местами первую и третью строки:

Теперь нужно получить нули вот на этих местах:
Нужно ко второй строке прибавить первую строку, умноженную на –2. Мысленно или на черновике умножаем первую строку на –2: (–2, –4, 2, –18). И последовательно проводим (опять же мысленно или на черновике) сложение, ко второй строке прибавляем первую строку, уже умноженную на –2:
-2 4 2 18
2 1 3 13
0 -5 5 -5

Аналогично разбираемся с третьей строкой (3, 2, –5, –1). Чтобы получить на первой позиции ноль, нужно к третьей строке прибавить первую строку, умноженную на –3.

Далее нужно получить единицу на следующей «ступеньке»:
В данном примере это сделать легко, вторую строку делим на –5 (поскольку там все числа делятся на 5 без остатка). Заодно делим третью строку на –2, ведь чем меньше числа, тем проще решение:

Для этого к третьей строке прибавляем вторую строку, умноженную на –2:
В результате элементарных преобразований получена эквивалентная исходной система линейных уравнений: