Методы решения иррациональных уравнений

Цель урока:
Обобщение и систематизация способов решения иррациональных уравнений.
Решение более сложных типов иррациональных уравнений .
Развивать умение обобщать, правильно отбирать способы решения иррациональных уравнений.
Развивать самостоятельность, воспитывать грамотность речи.

Устная работа
Можно ли, не решая уравнений, сделать вывод о неразрешимости предложенных уравнений:

Методы решения иррациональных уравнений
Введение новой переменной
Исследование ОДЗ
Умножение обеих частей уравнения на сопряженный множитель.
Сведение уравнения к системе рациональных уравнений с помощью введения переменной.
Выделение полного квадрата

Методы решения иррациональных уравнений
Использование ограниченности выражений, входящих в уравнение
Использование свойств монотонности функций
Использование векторов
Функционально - графический метод
Метод равносильных преобразований
Метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень

Введение новой переменной
Решить уравнение.
Решение.
Пусть х2+3х-6= t , t – неотрицательное число,
тогда имеем
Отсюда, t1=4, t2=36.
Проверкой убеждаемся, что t=36 – посторонний корень.
Выполняем обратную подстановку
х2+3х-6=4
Отсюда, х1= - 5, х2=2.

Решить уравнение
Исследование ОДЗ
Решение.
Замечаем, что ОДЗ уравнения состоит из одной точки х=1.
Проверкой убеждаемся, что
х=1 – решение уравнения.

Умножение обеих частей уравнения на сопряженный множитель
Решить уравнение
Решение.
Умножим обе части уравнения на
Получим,
Имеем,
Отсюда,
Проверкой убеждаемся, что х = 1 является корнем данного уравнения.

Сведение уравнения к системе рациональных уравнений с помощью введения переменной
Решить уравнение
Решение. Положим
Тогда u+v=3. Так как u3=x-2, v2=x+1, то v2 – u3 =3. Итак, в новых переменных имеем
Значит, х=3.

Выделение полного квадрата
Решить уравнение
Решение.
Заметим, что
Следовательно, имеем уравнение
Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:
или
Решением первой системы будет х=0, решением второй системы – все числа, удовлетворяющие неравенству
Ответ:

Использование ограниченности выражений, входящих в уравнение
Решить уравнение
Решение.
Так как
для любых значений х,
то левая часть уравнения не меньше двух для
Правая часть
для
Поэтому уравнение может иметь корнями только те значения х, при которых
Решая второе уравнение системы, найдем х=0.
Это значение удовлетворяет и первому уравнению системы. Итак, х=0 – корень уравнения.

Использование свойств монотонности функций
Решить уравнение
Решение.
Если функция u(x) монотонная, то уравнение и(х) = А либо не имеет ре­шений, либо имеет единственное ре­шение. Отсюда следует, что урав­нение и(х) = v(x), где и(х) - возрас­тающая, a v(x) – убывающая функ­ции, либо не имеет решений, либо имеет единственное решение.
Подбором находим, что х=2 и оно единственно.

Использование векторов
Решить уравнение
Решение.
ОДЗ:
Пусть вектор
Скалярное произведение векторов
Получили
Отсюда,
Возведем обе части в квадрат. Решив уравнение, получим

Самостоятельная работа с последующей проверкой
ВАРИАНТ 1
ВАРИАНТ 2

Домашнее задание
Решить систему уравнений
Решите уравнения:

Источники
http://rudocs.exdat.com/docs/index-18133.html
http://dist-tutor.info/mod/lesson/view.php
http://ru.wikibooks.org/wiki/