Модели в виде систем одновременных уравнений. - презентация

Содержание

Слайд 2

Проблемы построения моделей из одновременных уравнений

Авторегрессия
Рассмотрим элементарную макроэкономическую модель

В приведенной форме модель

Проблемы построения моделей из одновременных уравнений Авторегрессия Рассмотрим элементарную макроэкономическую модель В
(1.1) имеет вид

(1.1)

(1.2)

Из (1.2) видно, что COV(Yt,ut)≠0

Слайд 3

Проблемы построения моделей из одновременных уравнений

2. Проблема идентификации уравнений
Пример. Имеем элементарную модель

Проблемы построения моделей из одновременных уравнений 2. Проблема идентификации уравнений Пример. Имеем
конкурентного рынка

(2.1)

По результатам наблюдений необходимо получить оценки параметров a0, a1, b0, b1
Что доступно для наблюдений? Равновесная цена p*t и соответствующие ей уровни спроса и предложения, причем Yst=Ydt=Y*t

Слайд 4

Проблема идентификации уравнений

pt

yt

yd

ys

E0

Графически это выглядит так

p*t

y*t

Из приведенной формы уравнений модели видно

Проблема идентификации уравнений pt yt yd ys E0 Графически это выглядит так

Слайд 5

Проблема идентификации уравнений

Вопрос. Как преодолеть эту проблему?
Вспомним, что на спрос влияет располагаемый

Проблема идентификации уравнений Вопрос. Как преодолеть эту проблему? Вспомним, что на спрос
доход

(2.2)

Что это дает?

yt

pt

p*t(x1)

p*t(x2)

y*t(x1)

y*t(x2)

E1

E2

ys

yd2

yd1

Слайд 6

Проблема идентификации уравнений

Вывод. Введение в первое уравнение системы (2.1) дополнительной экзогенной переменной

Проблема идентификации уравнений Вывод. Введение в первое уравнение системы (2.1) дополнительной экзогенной
xt привело к тому, что второе уравнение стало идентифицируемо.
Правило. Для устранения проблемы идентификации необходимо:
1. Дополнить уравнения системы дополнительными предопределенными переменными
2. Дополнительные переменные включаются в уравнения смежные с неидентифицируемыми
Идентифицируемая модель конкурентного рынка

(2.3)

Слайд 7

Проблема идентификации уравнений

Остаются вопросы:
1. Как определить, какие уравнения в модели являются неидентифицируемые
2.

Проблема идентификации уравнений Остаются вопросы: 1. Как определить, какие уравнения в модели
Как определить, какие уравнения в модели идентифицируемые

Слайд 8

Проблема идентификации уравнений

Ответ на первый вопрос дает теорема, которая имеет название «правило

Проблема идентификации уравнений Ответ на первый вопрос дает теорема, которая имеет название
порядка» и формулирует необходимое условие идентифицируемости i-го уравнения модели
Общий вид каждого уравнение модели в структурной форме можно записать как:

где: G – количество эндогенных переменных в модели
K – количество предопределенных переменных в модели

(2.4)

Слайд 9

Проблема идентификации уравнений

Необходимое условие идентифицируемости
Теорема 1.  Пусть i-ое уравнение модели (2.4) идентифицируемо.

Проблема идентификации уравнений Необходимое условие идентифицируемости Теорема 1. Пусть i-ое уравнение модели
Тогда справедливо неравенство
Mi (пред) ≥ G – Mi (энд) – 1. (2.5)
В нём:
Mi (пред) – количество предопределённых переменных модели, не включённых  в i-ое уравнение; Mi (энд) – количество эндогенных переменных модели,  не включённых в i-ое уравнение.

Слайд 10

Проблема идентификации уравнений

Замечание. Справедливость неравенства (2.5) является необходимым условием  идентифицируемости i-го уравнения.

Проблема идентификации уравнений Замечание. Справедливость неравенства (2.5) является необходимым условием идентифицируемости i-го
Это значит, что, когда неравенство (2.5) несправедливо, то i-ое уравнение заведомо неидентифицируемо. Однако при выполнении неравенства (2.5) ещё нельзя сделать вывод о идентифицируемости данного уравнения.
Условие (2.5), именуемое правилом порядка, позволяет выявлять неидентифицируемые уравнения модели, но не даёт возможности отмечать её идентифицируемые уравнения.
Определение неидентифицируемых уравнений производится методом «от противного»: если условие (2.5) не выполняется для i-го уравнения, то оно неидентифицируемо

Слайд 11

Проблема идентификации уравнений

Задача. Показать, что оба уравнения модели (2.3) не являются неидентифицируемыми

(2.3)

Здесь:
(ydt,

Проблема идентификации уравнений Задача. Показать, что оба уравнения модели (2.3) не являются
yst,pt) – эндогенные переменные (G=3)
(1, xt, pt-1) – предопределенные переменные (K=3)
Для первого уравнения: М(пред)=1, М(энд)=1, М(пред)=G-М(энд)-1
Для второго уравнения: М(пред)=1, М(энд)=2, М(пред)>G-М(энд)-1 (1>3-2-1)

Слайд 12

Проблема идентификации уравнений

Введем еще несколько понятий, связанных с уравнением (2.4)


- Набор

Проблема идентификации уравнений Введем еще несколько понятий, связанных с уравнением (2.4) -
переменных модели

Матрица A = (aij) является не вырожденной и будем считать, что любое уравнение (2.4) может быть решено относительно yi и приведено к нормализованному виду (ai=1)
Определение. Ограничениями называется система из Li  линейных однородных алгебраических уравнений

которым априорно удовлетворяет вектор набора переменных (2.6) коэффициентов i-го уравнения

(2.7)

(2.6)

Слайд 13

Проблема идентификации уравнений

Пример. Модель конкурентного рынка (2.3)

(2.3)

Коэффициенты её первого уравнения, такие:
a11 = 1,

Проблема идентификации уравнений Пример. Модель конкурентного рынка (2.3) (2.3) Коэффициенты её первого
a12 = 0, a13 = -a1, b11 = -a0, b12 = -a2 . Следовательно, вектор этих коэффициентов
a1=(1, 0, -a1, -a0, -a2)T 
заведомо удовлетворяет одному (L1 = 1) ограничению
которое можно представить в форме линейного однородного уравнения (2.7) относительно компонентов вектора (2.6) с матрицей R1 = (0, 1, 0, 0, 0)

(2.8)

Слайд 14

Проблема идентификации уравнений

Обозначим символом Ā расширенную матрицу коэффициентов структурной формы модели

(2.8)

Теорема. (Правило

Проблема идентификации уравнений Обозначим символом Ā расширенную матрицу коэффициентов структурной формы модели
ранга) i-ое уравнение модели (2.4) идентифицируемо тогда и только тогда, когда справедливо равенство

(2.9)

В нём символом rk обозначен ранг произведения матриц (2.8) и RiT
Условие (2.9) является необходимым и достаточным для идентифицируемости i-го уравнения модели

Слайд 15

Проблема идентификации уравнений

Пример. Проиллюстрируем процедуру использования критерия (2.9) на примере уравнений модели

Проблема идентификации уравнений Пример. Проиллюстрируем процедуру использования критерия (2.9) на примере уравнений
(2.11).

Ее расширенная матрица

(2.11)

(2.10)

Отметим, что для третьего уравнения модели (2.3) условие нормализации не выполняется. Однако это уравнение является тождеством, к которому проблема идентификации не имеет отношение.

Слайд 16

Проблема идентификации уравнений

Для первого уравнения модели (2.11) :

Вычисляем значение критерия (2.9)

(2.12)

Проверяем условие

Проблема идентификации уравнений Для первого уравнения модели (2.11) : Вычисляем значение критерия
(2.9): rk=G-1 1≠3-1=2, следовательно, первое уравнение модели (2.11) неидентифицируемо

Слайд 17

Проблема идентификации уравнений

Для второго уравнения модели (2.11) имеем:

Вычисляем значение критерия (2.9)

Проверка условия

Проблема идентификации уравнений Для второго уравнения модели (2.11) имеем: Вычисляем значение критерия
(2.9): rk=G-1 2=3-1=2, следовательно, второе уравнение модели (2.11) идентифицируемо