Моделирование зависимостей между величинами (11 класс)

Величина
Характеристики величины: имя, тип, значение
Функциональные и иные виды зависимостей
Математические модели
Табличные и графические модели
Динамические модели
Ключевые понятия

Применение математического моделирования
Примеры зависимостей:
время падения тела на землю зависит от его первоначальной высоты;
давление газа в баллоне зависит от его температуры;
уровень заболеваемости жителей города бронхиальной астмой зависит от концентрации вредных примесей в городском воздухе.
Применение математического моделирования постоянно требует учета зависимостей одних величин от других.
Реализация математической модели требует владения приемами представления зависимостей между величинами.

Методы представления зависимостей
Величина – количественная характеристика исследуемого объекта
Имя величины может быть
смысловым
символическим
«давление газа»
Р
Основные типы величин:
числовой
символьный
логический
Пример константы – число Пифагора
В описании процесса падения тела переменными величинами являются высота H и время падения t
смысловым

Виды зависимостей
Функциональной зависимостью называется связь между двумя величинами, при которой изменение одной из них вызывает изменение другой.
Зависимость между величинами является полностью определенной.
Пример 1: t (c) – время падения; H (m) – высота падения. Зависимость будем представлять, пренебрегая учетом сопротивления воздуха; ускорение свободного падения g (м/с2) будем считать константой.
Пример 2: P (н/м2) – давление газа (в единицах системы СИ давление измеряется в ньютонах на квадратный метр); t °C – температура газа. Давление при нуле градусов P0 будем считать константой для данного газа.

Виды зависимостей
Иная зависимость носит более сложный характер, одна и та же величина может принять разные значения, поскольку на нее могут оказывать влияния и другие показатели.
Зависимость между величинами является полностью определенной.
Пример 3: Загрязненность воздуха характеризуется концентрацией примесей – С (мг/м3). Единица измерения – массы примесей, содержится в 1 кубическом метре воздуха, выраженная в миллиграммах. Уровень заболеваемости будет характеризовать числом хронических больных астмой, приходящихся на 1000 жителей данного города P (бол./тыс.)

Математические модели
Математические модели — это совокупность количественных характеристик некоторого объекта (процесса) и связей между ними, представленных на языке математики.
Математические модели отражают физические законы и представляются в виде формул:
В сложных задачах математические модели представляют в виде уравнений или систем уравнений.
Корневая зависимость (время пропорционально квадратному корню высоты)
Линейная зависимость

Табличные и графические модели
Экспериментальным путем проверим закон свободного падения тела
Эксперимент: стальной шарик сброшен с 6-метровой, 9-метровой высоты и т.д. (через 3 метра), замеряя высоту начального положения шарика и время падения
Результат эксперимента представлен в таблице и графике
Табличное и графическое представление зависимости времени падения тела от высоты

Динамические модели
Информационные модели, которые описывают развитие систем во времени, имеют специальное название: динамические модели.
В физике это движение тел, в биологии – развитие организмов или популяций животных,
в химии – протекание химических реакций.

Самое основное
Величина – количественная характеристика исследуемого объекта.
Характеристики величины:
Имя – отражает смысл величины
Тип – определяет возможные значения величин
Значение: постоянная величина (константа) или переменная
Функциональной зависимостью называется связь между двумя величинами, при которой изменение одной из них вызывает изменение другой.
Существует три способа моделирования величин: функциональный (формула), табличный и графический
Формула более универсальна; имея формулу, можно легко создать таблицу и построить график.
Описание развития систем во времени – динамическая модель.

Вопросы и задания
Какие вам известны формы представления зависимостей между величинами?
Что такое математическая модель?
Может ли математическая модель включать в себя только константы?
Приведите пример известной вам функциональной зависимости (формулы) между характеристиками какого-то объекта или процесса.
Обоснуйте преимущества и недостатки каждой из трех форм представления зависимостей.
Представьте математическую модель зависимости давления газа от температуры в виде табличной и графической модели, если известно, что при температуре 27 °С давление газа в закрытом сосуде было 75 кПа.