Некоторые идеи теоретической физики

Теоретическая физика
Задача теоретической физики: понять фундаментальные законы устройства мира.
Цель доклада:
немного рассказать о методах и идеях, использующихся в различных областях теоретической физики.

Ключевое понятие: «обобщение»
Изучать можно не сам объект, а только общие свойства ряда объектов. Главное – выбрать правильный ряд.
Объект
Интересные
свойства
Случайные
свойства

Пример: сфера
Как стать лучшим в мире специалистом по сферам?
?

Специалист-экспериментатор
Изготовление идеально сферических тел из разных материалов
Изучение сил сопротивления при движении сферы в вязких жидкостях
Изучение воздействия на сферу фемтосекундных лазерных импульсов

Специалист-теоретик
Как обобщать сферу?
S2 ? S3, S4, …
изучаем уравнение Σ xi2 = 1
S2 ? все кривые
пространства
изучаем кривизну
S2 ? «сферы с ручками»
изучаем топологию

Вывод
Чтобы понять, как устроен наш мир, нужно изучать другие миры, похожие на наш.
А теперь перейдем к физике…

План маршрута
Векторное
произведение
Электромагнетизм
Струны
Суперструны,
перспективы и т. д.

Векторное произведение
Что это такое на самом деле?
Магнитное поле:
Вращение:
Сколько параметров в d-мерии?
d = 0
1
2
3
4
5
n = 0
0
1
3
6
10

Удивление
Магнитное поле – не вектор!
Правильный взгляд:
Вопрос: что такое правильные уравнения Максвелла?

Уравнения Максвелла - 1
Проблема спрятана здесь:
Нужно понять, что такое div, rot, grad…

Div, rot, grad – 1
Свойства:
div rot = 0
rot grad = 0
Разные формулы вроде
Какие из этих свойств – случайные?
Какие, наоборот, имеют глубокую природу?

Div, rot, grad – 2
«Правильный» взгляд:

Свойства оператора d
d – «оператор де Рама»
«Теорема семи авторов» :
d2 = 0
(Ньютона, Лейбница, Гаусса, Остроградского, Грина, Стокса, Пуанкаре)
«Гомологическая алгебра»

Гомологические теории
Теория струн
Теории типа A и B
Теории типа CS
Теории
Берковица
d2 = 0 – одно из самых интересных уравнений!

Оператор «*»
У нас возникал оператор из Ωk в Ωn-k .
Это – «звездочка Ходжа».
Ω k Ω k + 1
Ω k Ω n - k
Ω k Ω k - 1
*
* d *
d* = * d *
Введем еще
оператор:
(это действительно
оператор, сопряженный к d)

Уравнения Максвелла – 2
Fμν -- матрица электромагнитного поля
F = Fμν dx μ dx ν
Уравнения Максвелла:
легко обобщается
Теория k-тензорного поля в d-мерии

В пустом пространстве уравнения М.:
Замена переводит уравнения в себя! В (3+1)-мерии это есть .
Дуальность
Вопрос: бывают ли магнитные заряды?
Если бывают, то можно объяснить дискретность электрического заряда!
Дуальности в разных теориях – актуальная тема.
Пример: «Д. в калибровочных теориях как теориях струн, первые результаты», 16 фев. 2006

Струны – 1. WS и TS.
Обобщим понятие траектории.
t
q
q(t)
WS TS
WS = “World sheet” TS = “Target space”
траектория
отображение из одного пространства в другое

Струны – 2. Обобщаем WS.
Пусть время двумерно: WS = 2 или  × S1
q
q ( t , τ )
t, τ
3-тензорные поля взаимодействуют со струнами.
минимальная площадь
? «Струна Полякова»

Какие бывают TS?
Простейший вариант – «система со связями»
(например, обычный маятник – это TS = S1)
Более интересный случай: «эффективные
теории». Простая теория на сложном про-
странстве выглядит, как много сложных
на простом. Пример: «Калуца-Клейн».
гравитация на M x S1
гравитация + электромагнетизм на M

Супер-… ?
Это были просто струны («бозонные»).
А что такое «суперструны»?..
Оказывается, есть целая «супернаука»: про суперпространства, супергруппы и т. д.
Наука о суперструнах – сложная. Мы обсудим лишь ее часть – приставку «супер».

Суперпространство – 1
Еще одно обобщение пространства:
Добавим антикоммутирующие переменные θ μ .
θ μ θ ν = – θ ν θ μ – глупо? Нет (вспомним dxi)!
«Алгебраическая геометрия»
«Нечетные» координаты “θ” ? фермионы
«Четные» координаты “x” ? бозоны

Суперпространство – 2
«Нечетное преобразование Фурье»:
Дифференцирование:
Интегрирование:
Это – звездочка Ходжа!

Континуальный интеграл: ∫x
Еще одно обобщение интеграла – интеграл по всем траекториям из x в y.
Достоинств – полно.
(наглядность вычислений, компактная запись, аналогии со статистической физикой и т. д.)
Недостаток – один. Математически,
такого интеграла не существует.

«Перспективы» – 1: BV
BV-формализм – возможно, позволит построить «хорошую» теорию гравитации. Главный герой – оператор ΔBV.
Нечетное Фурье-преобразование (*) переводит ΔBV в знакомый нам оператор де Рама d!
Два примера возможных путей развития.

«Перспективы» – 2: решетки
Мы говорили о том, как можно обобщать пространство. Есть совсем радикальный путь:
«теория на решетке»