Оригами и геометрия

Содержание
Введение
Оригами в геометрии
Аксиомы оригаметрии
Доказательство теорем с помощью оригами
Пример решения задач
Заключение
Литература

Введение
Общее понятие об оригами.
Оригами -одно из традиционных японских искусств, а также излюбленное развлечение японцев всех возрастов –малыши и пожилые люди с удовольствием складывают оригами в свободное время.
Целью данного проекта является доказательство того, что искусство оригами можно применять для доказательства теорем и для решения задач по геометрии.

Слово «оригами» переводится как «сложенная бумага» (ори-ками). А «ками» по-японски это и «бумага», и «Бог». Поэтому японцы с особым почтением относится к искусству складывания. В древней Японии бумажные фигурки участвовали в религиозных обрядах, а позднее очень полюбились при императорском дворе. Умение складывать было признаком хорошего образования и тонкого изысканного вкуса.

Оригами в геометрии
Оригами используется в геометрии -для доказательства теорем и решения задач.
Решение задач с помощью оригаметрии –способ необычный и интересный, так как многие понятия школьного курса геометрии просто и наглядно объясняются демонстрацией оригами.

Оригаметрия –область очень молодая, и пока не существует ни соответствующих программ, ни учебников, которые давали бы подобный материал систематически. Вместе с тем многие понятия курса геометрии в школе гораздо проще и нагляднее объясняются с помощью оригаметрии.

Сказание об Оригаметрии.

Аксиомы оригаметрии.
Для построения теории используется система аксиом. Действительно, аксиомы оригаметрии существуют! Их предложил живущий в Италии японский математик Хумиани Хузита.

Таких аксиом, с его точки зрения, всего шесть.
Аксиома 1. Существует единственный сгиб, проходящий через две данных точки.

Аксиома 2. Существует единственный сгиб, совмещающий две данные точки.

Аксиома 3. Существует единственный сгиб, совмещающий две данные прямые.

Аксиома 4. Существует единственный сгиб, проходящий через данную точку и перпендикулярный данной прямой.

Аксиома 5. Существует единственный сгиб, проходящий через данную точку и помещающий другую данную точку на данную прямую.

Аксиома 6. Существует единственный сгиб, помещающий каждую из двух данных точек на одну из двух данных пересекающихся прямых.

В 2002 году японский оригамист Коширо Хатори обнаружил сгиб, который не описан в аксиомах Х. Хузита.
Аксиома 7. Для двух данных прямых и точки существует линия сгиба. Перпендикулярная первой прямой и помещающая данную точку на вторую прямую.

Доказательство теорем с помощью оригами.
Теорема 1.Суммауглов треугольника равна 180 градусов.
Доказательство. Возьмем лист бумаги, имеющий форму произвольного треугольника.

1) Проведем сгиб через одну из вершин треугольника, перпендикулярно противоположной стороне (высоту треугольника).
2) Совместим вершины треугольника с точкой у основания высоты треугольника.
22

3)Получаем, что углы 1, 2 и 3 треугольника совпали при наложении с развернутым углом, следовательно, сумма углов равна 180 градусов.

Теорема 2. Накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны.
1) Доказательство. Возьмем лист бумаги с двумя параллельными сторонами и секущей АВ. Сравним накрест лежащие углы- углы 1 и 2.
24

2) Совместим вершины накрест лежащих углов- точки А и В.

3)Углы 1 и 2 совпали при наложении, следовательно, угол 1 равен углу 2. Значит, накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, равны.

Пример решения задач.
Задача
Прямая, проходящая через середину биссектрисы AD треугольника АВС и перпендикулярная AD, пересекает сторону АС в точке М.
Доказать, что MD //AB.

Решение
Возьмем лист бумаги, имеющий форму производного треугольника. Проведем биссектрису AD, согнув лист так, чтобы сторона АС совместилась со стороной АВ. Наметим середину АD, совместив точки А и D. Проведем ОМ, перпендикулярную AD. Согнем лист по линии MD.

Для доказательства параллельности MD и АВ сравним углы 1 и 3, для этого согнем лист по AD и совместим точки А и D. Углы 1 и3 совпали, а они накрест лежащие ,следовательно, MD // AB.

Заключение
Таким образом, мы смогли доказать, что решать геометрические задачи с помощью оригами достаточно просто и интересно, так как многие понятия школьного курса геометрии наглядно объясняются демонстрацией оригами.

Литература
Афонькин С.Ю. Уроки оригами в школе и дома.- М.: Аким, 1996.
http://sch139.5ballov.ru/doom/-дистанционная обучающая олимпиада по математике.