Параллельность прямой и плоскости

Цель:
создать задачник- практикум по теме «Параллельность прямой и плоскости.»

Задачи:
формирование логического мышления,
пространственного представления через решения задач;
развитие умения составлять наглядные рисунки по условию задач;
оказание взаимопомощи одноклассникам, испытывающим затруднения;
формирование навыков самопроверки и самооценки.

Гипотеза:
если мы создадим задачник – практикум, то сможем внедрить проект в образовательный процесс и помочь одноклассникам, испытывающим затруднения.

Объект:
тема «Параллельность прямой и плоскости»
Предмет:
задачи разного уровня сложности по данной теме.

Этапы проекта:
изучение литературы по данной теме;
подбор задач;
самостоятельное решение подобранных задач;
разбор решенных задач;
создание мультимедийной презентации;
защита проекта на научно- практической конференции «Эрудит»

Решение задач на параллельность прямой и плоскости
Задача 1
Плоскость α пересекает стороны АВ и АС
треугольника АВС соответственно в точках В₁ и С₁. Известно, что ВС ll α, и АВ: В₁В= 5:3, АС=24см.
Найти АС₁

Рисунок по условию задачи
А
В
С
В₁
С₁

Решение
1 Плоскость треугольника АВС проходит через прямую ВСllα и пересекает плоскость α по прямой В₁С₁ , тогда по утверждению 1 прямая ВС параллельна прямой В₁С₁.
АВС ~ АВ₁С₁ по первому признаку подобия треугольников (угол В- общий, углы ВАС и ВВ₁С₁ соответственные при параллельных прямых ВС и В₁С₁)
3. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон ВС: В₁С₁= АВ:АВ₁=АС:АС₁=5:2. по условию АС= 24 и АС:АС₁= 5: 2, то 24:АС₁= 5: 2, решив пропорцию получим 5АС₁=48, АС₁=48:5, АС₁=9,6 см

Реши самостоятельно и проверь ответы
Задача 2
Дан треугольник АВС, т Е принадлежит АВ, т К принадлежит ВС, ВЕ:ВА= ВК: ВС=2:5.Через прямую АС проходит плоскость α, не совпадающая с плоскостью треугольника АВС.
Доказать, ч то ЕК ll α, и найти длину отрезка АС, если ЕК= 4см
Задача 3
Дан треугольник АВС, т М принадлежит АВ, т К- стороне ВС и ВМ:МА=3: 4.Через прямую МК проходит плоскость α, параллельная прямой АС.
Доказать, что ВС:ВК=7:3, найти длину отрезка МК, если АС= 14см

Проверь себя
А
С
В
Е
К
α
Решение:
1.Рассмотрим треугольники АВС и ВКЕ
Они подобны по 2 признаку подобия, так как
две стороны одного пропорциональны двум
сторонам другого и угол В
общий.
из подобия треугольников следует равенство соответственных углов ВКЕ и ВСА, прямая КЕ ll АС ( по признаку параллельности прямых )
2.Составим пропорцию КЕ:АС= ВЕ: ВА, 4: АС= 2:5, 2АС=20, АС= 10см
Задача 1

М
К
α
Задача 2
В
С
А
Дан треугольник АВС, т М принадлежит стороне АВ, К принадлежит ВС, причем ВМ:МА =3:4
Через прямую МК проходит плоскость, параллельная прямой АС
Докажите, что ВС:ВК=7:3 и найдите длину отрезка МК,
Если АС=14см
Решение: Плоскость ВАС проходит через прямую АС параллельную плоскости α и пересекает ее по прямой МК ,значит прямая АС параллельна прямой МК(утверждение 1)
Треугольники МВК и АВС подобны по 1 признаку подобия
Из подобия треугольников следует пропорциональность соответственных сторон ВМ:ВА=ВК:ВС=МК:АС, так как по условию отношение ВМ:МА= 3:4,то ВМ:ВА=3:7, значит ВС:ВК=7:3, Чтобы найти длину отрезка МК, составим пропорцию МК:АС=ВК: ВС,МК:14= 3:7, 7МК=42, МК=6см.

Угол между скрещивающимися
прямыми
m
n
С
Прямые m и n скрещивающиеся по признаку скрещивающихся прямых, прямая t ll n и проходит через С – точку пересечения прямой m с плоскостью α
По определению угол между прямыми m и n есть угол ВСД
В
t

Задача
Основание АД трапеции АВСД лежит в плоскости
Β. Через точки В и С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость β в точках Е и F соответственно.
1.Докажите, что ВСFЕ-параллелограмм
2.Каково взаимное положение прямых ЕF и АВ? Чему равен угол между ними, если угол АВС=150°? Поясните.
А
Д
В
С
Е
F
β

Решение :
ВЕ и СF параллельные прямые задают плоскость ВСF, которая пересекает плоскость β по прямой ЕF. ВС ll АД по определению трапеции, АД принадлежит плоскости β, тогда ВС ll β(по признаку параллельности прямой и плоскости) Плоскость ВСF проходит через прямую ВС параллельную плоскости β и пересекает плоскость β по прямой ЕF,тогда линия пересечения ЕF параллельна данной прямой ВС.(утверждение1), из того, что ВЕ ll СF и ВС ll ЕF,
следует что ВСFЕ-параллелограмм. так как ВС ll АД и ВС ll ЕF, то по теореме о трех параллельных прямых АД ll ЕF. Так как АВ пересекает плоскость β в точке А, не принадлежащей прямой ЕF, то прямые АВ и ЕF скрещивающиеся. (по признаку скрещивающихся прямых)
Угол между этими прямыми есть угол ВАД По условию задачи угол АВС равен 150°, значит угол ВАД равен 30°

Выводы:
Стереометрия-это раздел геометрии, изучающий свойства объемных тел.Поэтому наш проект направлен на формирование логического мышления и пространственного воображения.
В процессе работы над проектом гипотеза подтвердилась. Задачник- практикум успешно внедрен в образовательный процесс и помогает одноклассникам в постижении науки- стереометрии.