Построение циркулем и линейкой

В геометрии специально выделяют задачи на построение, которые решаются только с помощью двух инструментов:
ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКИ
без масштабных делений.

Условные обозначения
∠ - знак угла
окр(О;г) - окружность с центром в точке О и радиусом г
∩ - знак пересечения
{ } - в скобках указано множество точек пересечения
∈ - знак принадлежности
⊥ - знак перпендикулярности
: - заменяет слова ”такой что”

Задача 1
На данном луче от его начала отложить отрезок, равный данному
Дано:
Луч h, О- начало
PQ-отрезок
Построить:
A∈h, OA=PQ
h
A
Построение:
1. окр(О;PQ)
2. h∩окр(O;PQ)= {A}
3. OA-искомый
P Q
OA:
O

Задача 2
Отложить от данного луча угол, равный данному
Дано:
луч ОМ
О
М
∠А
А
Построить:
Построение:
1. окр(А,г); г-любой
С
В
3. окр(О,г)
Е
4. окр(О,г) ∩ОМ= {Е}
5. окр(Е,ВC)
К
К1
6. окр(Е,BС)∩окр(О,г)= {К;К1}
7. луч ОК; луч ОК1
8. ∠КОМ -искомый
∠KOM=∠А
2. окр(А;г)∩∠А={В;С}

Докажем, что отложенный от данного луча угол, равен данному
О
М
А
С
В
Е
К
К1
Доказательство:
ΔAВС=ΔОЕК(по трем сторонам)
так как 1) АВ=ОЕ=г
2) АС=ОК=г
3) ВС=ЕК=г1
Следовательно, ∠КОМ=∠А

Задача 3
Построить биссектрису данного угла
Дано:
∠А
Построить:
Построение:
А
1. окр(А;г); г-любой
Луч AE-
биссектрису ∠А
2. окр(А;г)∩∠А={В;С}
C
B
3. окр(В;г1)
4. окр(С;г1)
E
E 1
5. окр(В;г1)∩окр(С;г1)={Е;E1}
6. Е-внутри ∠A
7. AE-луч
8. AE-искомый
Е

Докажем, что АЕ – биссектриса данного угла
А
C
B
E
E 1
Е
Доказательство:
ΔAВЕ=ΔАСЕ
( по трем сторонам)
так как 1) AС=АB=г
2) СЕ=BЕ=г1
3) АЕ-общая
1
2
Следовательно, ∠1=∠2.
Значит, АЕ-биссектриса ∠А.

Задача 4
Построить перпендикуляр к данной прямой, проходящий через данную точку, лежащую на этой прямой.
Дано:
прямая а
а
точка M
Построить:
m:
M∈m; m ⊥a
М
Построение:
1. окр(М;г); г-любой
A
A1
2. окр(М;г)∩а={А;А1}
3. окр(А;АА1)
4. окр(А1;A1A)
5. окр(А; АА1)∩окр(А1;АА1)={P;Q}
P
Q
6. прямая PМ=m
7. m-искомая
m
m
М
Э

Докажем, что прямая, проходящую через данную
точку М перпендикулярна к данной прямой
а
М
A
A1
P
Q
m
Доказательство:
ΔAPA1-равнобедренный (АР=А1Р=г1)
РМ-медиана
(МA=MА1=г)
Значит, РМ-высота ΔAPA1
.То есть PМ ⊥a.

Задача 5
Дано:
прямая а
а
точка M
Построить:
m:
M∈m; m ⊥a
М
Построение:
1. окр(М;г)
A
A1
2. окр(М;г)∩а={А;А1}
3. окр(А;АМ)
4. окр(А1;A1М)
5. окр(А;АМ)∩окр(А1;А1М)={M;Q}
Q
6. прямая МQ=m
7. m-искомая
m
m
Э
М
а
Построить перпендикуляр к данной прямой, проходящий через данную точку, не лежащую на этой прямой.

а
М
A
A1
Q
m
Доказательство:
ΔAМQ=ΔА1MQ
( по трем сторонам)
1) AM=А1M=г
2) AQ=A1Q=г
3) MQ-общая
Следовательно,
∠1=∠2.
Тогда, МО-биссектриса равнобедренного ΔАМА1.
1
2
О
Значит, МО и высота ΔАМА1. Тогда, МQ ⊥a.
Докажем, что прямая, проходящую через данную
точку М перпендикулярна к данной прямой

Задача 6
Построить середину данного отрезка
Дано:
АВ-отрезок
А
Построить:
О∈АВ; ОА=ОВ
О:
Построение:
1. окр(А ;АВ)
2. окр(В;ВА)
3. окр(А;АВ)∩окр(В;ВА)= {P;Q}
4. PQ-прямая
P
Q
5. PQ∩AB={O}
О
6. O – искомая точка
B

Докажем, что О – середина данного отрезка
А
P
Q
B
О
Доказательство:
ΔAPQ=ΔBPQ
( по трем сторонам)
так как 1) AP=BP=г
2) AQ=BQ=г
3) PQ-общая
Следовательно, ∠1=∠2
Значит, РО-биссектриса равнобедренного ΔАРВ.
1
2
Значит, РО и медиана ΔАРВ.
То есть, О – середина АВ.