Построение уточненной теории пластин с применением уравнения равновесия элементарного столбика Выполнил: Скращук Дми

Элементарный столбик
Постановка задачи
Решение задачи
Результаты
Выводы

Элементарный столбик
Уравнение равновесия элементарного столбика (1)
(1)

Постановка задачи
Дана круглая толстая плита нагруженная параболической нагрузкой, края которой находятся в абсолютно жёстких вертикальных направляющих, препятствующих тангенциальному перемещению, причём контурная окружность неподвижна.
Используя уравнение равновесия элементарного столбика исследовать:
Зависимость вертикальных перемещений w круглой толстой плиты от положения контура закрепления.
2. Зависимость напряжений σz и τrz круглой толстой от положения контура закрепления.

Решение задачи
Для решения поставленной задачи используем уравнение равновесия элементарного столбика (1). Искомые перемещения представим в виде конечных сумм по полиномам Лежандра (2). Достаточно четырех слагаемых чтобы построить шесть независимых возможных перемещений (3) учитывающих работу как постоянных по толщине усилий, так и переменных.
,
(2)
(3)

Решение задачи
Раскрывая вариационное уравнение (1) для разложений (2) и вариаций (3), после некоторых преобразований получим:

Решение задачи
Их общие решения приведенные принимают вид:

Решение задачи
Применяя метод неопределённых коэффициентов можно построить решения для Wi и нагрузок вида:
Ui найдём из следующих условий:

Результаты
R=5,
q=100
Используем написанную программу для:
Закрепление при :

Результаты
Закрепление при:
:

Результаты
Закрепление при:

Результаты
Напряжение σz
Напряжение σz в цилиндрических координатах вычисляется по формуле:

Результаты
Напряжение τrz в цилиндрических координатах вычисляется по формуле:
τrz [r, z]=G( D[u[r, z], z]+ D[w[r, z], r])
Напряжение τrz:

Выводы
Основными новыми результатами работы являются:
1. Разработана программа для нахождения вертикального w и горизонтального u перемещений круглой толстой плиты, нагруженной нагрузкой вида:
края которой находятся в абсолютно жёстких вертикальных направляющих, препятствующих тангенциальному перемещению, причём контурная окружность неподвижна.
2. Проведено численное исследование напряжённо-деформированного состояния круглой пластины нагруженной параболической нагрузкой.
3. Вычислены прогибы пластины во всех точках, а также напряжения σz и τrz.
4. Обнаружено, что напряжения σz и τrz не зависят от положения закрепленного контура по вертикали