Повторение геометрии при подготовке к итоговой аттестации

Устная работа
Д/з
Решение задач
Проверка д/з
Задача 1
Задача 2
Задача 3
Дано: CBD=35; BF=2см; AD=3см; AF=FC; CAD=ACB.
Найти: ADF; FD; BC.
Решение
A
C
D
F
B
3
2
1
2

Устная работа
Д/з
Решение задач
Проверка д/з
A
C
D
F
B
3
2
Решение
1). Так как CAD=ACB – накрест лежащие, то по признаку параллельности прямых BC||AD.
Дано: CBD=35; BF=2см; AD=3см; AF=FC; CAD=ACB.
Найти: ADF; FD; BC.
2). Рассмотрим AFD=BFC по стороне и двум прилежащим углам (1.AF=FC; 2. CAD=ACB; 3.  AFD = BFC).
ВF=FD; FBC=ADF; BC=AD
BC=AD=3 (см); ВF=FD=2 (см); ADF=35.
Ответ: 35; 3 см; 2 см.
2
Задача 1
Задача 2
Задача 3
1

Д/з
Решение задач
Устная работа
Проверка д/з
Задача 2
Задача 1
Задача 3
A
D
F
B
Дано:
AB=BC; CF=FD.
Доказать, что AB||DF.
Доказательство
C
1
2

Д/з
Решение задач
Устная работа
Проверка д/з
Задача 2
Задача 1
Задача 3
A
D
F
B
Дано:
AB=BC; CF=FD.
Доказать, что AB||DF.
C
Доказательство
1). ABC – равнобедренный (по определению), так как AB=BC  BAC=ACB по свойству равнобедренного треугольника.
2). CDF – равнобедренный по определению, так как CF=FD  DCF=CDF (по свойству).
3) ACB=DCF – вертикальные  BAC=CDF – накрест лежащие, то по признаку параллельности прямых  AB||FD, что и требовалось доказать.
2
1

Д/з
Решение задач
Устная работа
Проверка д/з
Задача 2
Задача 3
Задача 1
B
A
C
O
D
F
Дано: (O;R) – окружность
т.A,B,C,D  (O;R)
AC ∩ BD= т.F
Записать: пропорциональные отрезки.
Решение
1
2

Д/з
Решение задач
Устная работа
Проверка д/з
Задача 2
Задача 3
Задача 1
B
A
C
O
D
F
Дано: (O;R) – окружность
т.A,B,C,D  (O;R)
AC ∩ BD= т.F
Записать: пропорциональные отрезки.
Решение
1). ABD=ACD – вписанные, опирающиеся на одну и туже дугу AD.
2). BAC=CDB – вписанные, опирающиеся на одну и туже дугу BC.
3). AFB=CFD – вертикальные  стороны AF и DF; BF и CF; AB и CD – сходственные стороны  ABF  CDF 
2
1

Д/з
Решение задач
Проверка д/з
Устная работа
Проверка д/з
Задача 1
Задача 2
Из точки А проведены две прямые, касающиеся окружности радиуса r в точках M и N. Найти длину отрезка MN, если расстояние от точки A до центра окружности равно a.
Решение
A
M
N
O
B
1
2

Д/з
Решение задач
Проверка д/з
Устная работа
Проверка д/з
Задача 1
Задача 2
Слайд 5
Решение
A
M
N
O
B
Задача 1
Задача 2
OM и ON – радиусы окружности; по свойству радиуса, проведенного в точку касания, OMMA; ONNA.
∆AMO= ∆ANO – прямоугольные (по катету и гипотенузе: OM=ON=r; OA – общая)  OAM=OAN.
AM=AN  ∆AMN – равнобедренный (по определению) AOM=AON.
По свойству равнобедренного треугольника: AB – биссектриса, медиана и высота MB=BN; ABMN.
S(∆AMO)=½MBˑAO или S(∆AMO)=½MOˑAM
Из ∆AMO: по теореме Пифагора:
и Ответ:
2
1

Д/з
Решение задач
Проверка д/з
Устная работа
Проверка д/з
Задача 2
В параллелограмме ABCD (AB||CD) диагонали AC=c; BD=3с/2. Найти площадь параллелограмма, если CAB=2ABD.
Решение
A
C
D
O
B
Задача 1
1
2

Д/з
Решение задач
Проверка д/з
Устная работа
Проверка д/з
Задача 2
Решение
Точка О – точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD. Для вычисления площади применим формулу S(ABCD)=½ACˑBDˑsin AOB;
S(ABCD)=¾c2ˑsin AOB
Пусть DBA=, тогда CAB=2, AOB=π – 3.
По теореме синусов из ∆AOB:
Тогда, используя формулу sin3, получаем
sin AOB=sin3  =3sin  –4sin3=
Ответ:
Задача 2
Задача 1
A
C
D
O
B
3
2
1

Д/з
Проверка д/з
Решение задач
Устная работа
Проверка д/з
Задача 1
Задача 2
Две стороны треугольника равны a и b. Найти его третью сторону, если его угол, лежащий против этой стороны, в 2 раза больше угла, лежащего против стороны b.
Решение
A
C
B
a
b
Искомую сторону ∆ABC обозначим c, то есть AB=c
3
4
5
2
6
8
T
1

Д/з
Проверка д/з
Решение задач
Устная работа
Проверка д/з
Задача 1
Задача 2
Решение
A
C
B
a
b
Искомую сторону ∆ABC обозначим c, то есть AB=c
c
B=, тогда C=2. Проведем CD – биссектрису C.
Две стороны треугольника равны a и b. Найти его третью сторону, если его угол, лежащий против этой стороны, в 2 раза больше угла, лежащего против стороны b.
3
4
5
6
1
8
T
2

Д/з
Проверка д/з
Решение задач
Устная работа
Проверка д/з
Задача 1
Задача 2
Решение
A
C
B
a
b
Искомую сторону ∆ABC обозначим c, то есть AB=c
Две стороны треугольника равны a и b. Найти его третью сторону, если его угол, лежащий против этой стороны, в 2 раза больше угла, лежащего против стороны b.
c
B=, тогда C=2. Проведем CD – биссектрису C.

2
D


4
5
2
6
1
8
T
3

Д/з
Проверка д/з
Решение задач
Устная работа
Проверка д/з
Задача 1
Задача 2
Решение
A
C
B
a
b
Искомую сторону ∆ABC обозначим c, то есть AB=c
Две стороны треугольника равны a и b. Найти его третью сторону, если его угол, лежащий против этой стороны, в 2 раза больше угла, лежащего против стороны b.
c
B=, тогда C=2. Проведем CD – биссектрису C.

2
D


Рассмотрим ∆CBD – равнобедренный, так как BCD=B= (углы при основании ∆ABD)  BD=CD.
Пусть BD = x, тогда AD=c – x, CD=x.
3
5
2
6
1
8
T
4

Д/з
Проверка д/з
Решение задач
Устная работа
Проверка д/з
Задача 1
Задача 2
Решение
A
C
B
a
b
Искомую сторону ∆ABC обозначим c, то есть AB=c
Две стороны треугольника равны a и b. Найти его третью сторону, если его угол, лежащий против этой стороны, в 2 раза больше угла, лежащего против стороны b.
c
B=, тогда C=2. Проведем CD – биссектрису C.

2
D


Рассмотрим ∆CBD – равнобедренный, так как BCD=B= (углы при основании ∆ABD)  BD=CD.
Пусть BD – x, тогда AD=c – x, CD=x.
x
x
3
4
2
6
1
8
T
5

Д/з
Проверка д/з
Решение задач
Устная работа
Проверка д/з
Задача 1
Задача 2
Решение
A
C
B
a
b
Искомую сторону ∆ABC обозначим c, то есть AB=c
Две стороны треугольника равны a и b. Найти его третью сторону, если его угол, лежащий против этой стороны, в 2 раза больше угла, лежащего против стороны b.
c
B=, тогда C=2. Проведем CD – биссектрису C.

2
D


Рассмотрим ∆CBD – равнобедренный, так как BCD=B= (углы при основании ∆ABD)  BD=CD.
Пусть BD – x, тогда AD=c – x, CD=x.
x
x
По теореме о биссектрисе внутреннего угла треугольника
3
4
5
2
1
8
T
6

Д/з
Проверка д/з
Решение задач
Устная работа
Проверка д/з
Задача 1
Задача 2
Доказательство
A
C
B
Пусть AD – биссектриса ABC.
Так как площади треугольников, имеющих общую вершину A, относятся как длины их оснований, то
Биссектриса любого внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.
D
Теорема о биссектрисе
с другой стороны, эти площади относятся как
длины сторон:
Из (1) и(2) следует, что Теорема доказана .
3
4
5
2
6
1
8
T

Д/з
Проверка д/з
Решение задач
Устная работа
Проверка д/з
Задача 1
Задача 2
A
C
B
a
b
Из подобия треугольников найдем
c
Приравнивая правые части (1) и (2) равенства, получим

2
D


x
x
По теореме о биссектрисе внутреннего угла треугольника:
С другой стороны, ACD=, a ADC=2 (как внешний угол CBD). Тогда три угла ∆ACD равны трем углам ∆ABC, следовательно, ∆ACD ̴ ∆ABC.
2
Ответ:
3
4
5
2
6
1
T
8

Д/з
Проверка д/з
Решение задач
Устная работа
Проверка д/з
Точка N лежит на стороне AC правильного треугольника ABC. Найти отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников ABN и ABC, если AN:AC=n
Решение
Задача 1
Задача 2
B
A
C
N
Обозначим сторону треугольника ABC через а, тогда AN=na.
Сторону BN найдем по теореме косинусов:
R1 – радиус окружности, описанной около ABN.
R2 – радиус окружности, описанной около ABC.
Применим формулу
1
2
3

Д/з
Проверка д/з
Решение задач
Устная работа
Проверка д/з
Около всякого треугольника можно описать окружность, и притом только одну.
Задача 1
Задача 2
Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении перпендикуляров, восстановленных из середин сторон этого треугольника.
Радиус R окружности, описанной около треугольника, по его сторонам и полупериметру вычисляется по формуле:
Также радиус R окружности, описанной около треугольника, может быть вычислен по формулам:
где S – площадь треугольника,
hc – высота, проведенная из вершины С.
3
2
1

Д/з
Проверка д/з
Решение задач
Устная работа
Проверка д/з
Задача 1
Задача 2
B
A
C
N
Применяя формулу
получим, что
Если у треугольников равны высоты, то их площади относятся как основания. А так как ABN и ABC имеют общую высоту, проведенную из вершины B, то их площади относятся как длины оснований:
Подставляя выражения для площадей, получим:
Ответ:
2
1
3

Проверка д/з
Д/з
Решение задач
Устная работа
Проверка д/з
Задача 1
Задача 2
Трапеция ABCD вписана в окружность. Найти среднюю линию трапеции, если ее большее основание AD равно 15, синус BAC равен 1/3, синус ABD равен 5/9.
Решение
M
A
D
B
C
N
15


1
2

Проверка д/з
Д/з
Решение задач
Устная работа
Проверка д/з
Задача 1
Задача 2
M
A
D
B
C
N
15


Решение
Средняя линия трапеции равна
Для нахождения средней линии надо найти длину основания BC.
Используя свойства вписанных и центральных углов окружности, а также радиус описанной окружности R, выразим:
Длина
Ответ: 12
2
1

Проверка д/з
Д/з
Решение задач
Устная работа
Проверка д/з
Задача 2
Задача 2
Задача 1
В трапеции ABCD (AB||CD) диагонали AC=a и BD=7/5a. Найти площадь трапеции, если CAB=2DBA.
Решение
A
D
B
C
О
1
2

Проверка д/з
Д/з
Решение задач
Устная работа
Проверка д/з
Задача 2
Задача 2
Задача 1
A
D
B
C
О
E
Решение
Пусть DBA=, тогда CAB=2.
BE=CD; CE=BD; CEA=DBA= – соответственные при DB||CE и AE секущая.
Ответ:
Через вершину C проведем CE||DB до пересечения ее с продолжением основания AB в точке E.
2

h – высота ACE и трапеции ABCD.
Для ACE применим теорему синусов:
2
1