ПРЕДИКАТ. ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ПРЕДИКАТАМИ.

1. Понятие предиката
Логика предикатов расчленяет элементарное высказывание на субъект (буквально — подлежащее, хотя оно и может играть роль дополнения) и предикат (буквально - сказуемое, хотя оно может играть и роль определения).

Субъект — это то, о чем что-то утверждается в высказывании; предикат - это то, что утверждается о субъекте.

Пример:
В высказывании «7 - простое число», «7» -субъект, «простое число» - предикат. Это высказывание утверждает, что «7» обладает свойством «быть простым числом».
Если в рассмотренном примере заменить конкретное число 7 переменной х из множества натуральных чисел, то получим высказывательную форму «х - простое число». При одних значениях х, (например, х = 13, х =17 ) эта форма дает истинные высказывания, а при других значениях х (например, х = 10 , х = 18 ) эта форма дает ложные высказывания.

Одноместным предикатом Р(х) называется произвольная функция переменного х, определенная на множестве М и принимающая значения из множества {1,0}.

Множество М, на котором определен предикат P(х) , называется областью определения предиката.

Множество всех элементов х ∈ М , при которых предикат принимает значение «истина», называется множеством истинности предиката Р(х).

Примеры:
Р(х) - «х - простое число» определен на множестве N, а множество истинности для него есть множество всех простых чисел.
Предикат Q{x} - « sin х = 0 » определен на множестве R, а его множество истинности -Q.
Предикат F(x) - «Диагонали параллелограмма перпендикулярны» определен на множестве всех параллелограммов, а его множеством истинности является множество всех ромбов.

Предикат Р(х), определенный на множестве М, называется тождественно истинным ,если область определения предиката и область истинности совпадают.

2. Логические операции над предикатами
Предикаты, так же, как высказывания, принимают два значения истина и ложь (1, 0), поэтому к ним применимы все операции логики высказываний.

Конъюнкцией двух предикатов Р(х) и Q(x) называется новый предикат Р(х)Λ Q{x), который принимает значение «истина» при тех и только тех значениях х ∈ М, при которых каждый из предикатов принимает значение «истина», и принимает значение «ложь» во всех остальных случаях.

Пример:
Для предикатов Р(х): «х – четное число» и Q(x): «х кратно 3» конъюнкцией P(x)ΛQ(x) является предикат «х - четное число и х кратно 3», то есть предикат «х делится на 6»

Дизъюнкцией двух предикатов Р(х) и Q(x) называется новый предикат Р(х)V Q(x), который принимает значение «ложь» при тех и только тех значениях х ∈ М, при которых каждый из предикатов при­нимает значение «ложь» и принимает значение «истина» во всех остальных случаях.

Отрицанием предиката Р(х) называется новый предикат , который принимает значение «истина» при всех значениях х ∈ М, при которых предикат Р(х) принимает значение «ложь», и принимает значение «ложь» при тех значениях х ∈ М, при которых предикат Р(х) принимает значение «истина».

Задание 1
Для следующих предложений выделить предикаты и для каждого из них указать область истинности:
х+5=1;
х+2<3x – 4;
однозначное число х кратно 3;