Представление числовой информации в различных системах счисления

Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир.
Иоганн Гёте

Системы счисления
Это совокупность примеров и правил для обозначения и именования чисел

Системы счисления
позиционные
непозиционные
Система счисления, в которой значение цифры не зависит от ее позиции в записи числа, называется непозиционной.
К непозиционным системам счисления относятся: римская система счисления, алфавитная система счисления.
Система счисления, в которой значение цифры (вес) зависит от ее позиции в записи числа, называется позиционной.
К позиционным системам счисления относятся десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и др.

Недостатки непозиционной системы счисления:
Для записи больших чисел необходимо вводить новые цифры (буквы);
Трудно записывать большие числа;
Нельзя записывать дробные и отрицательные числа;
Нет нуля;
Очень сложно выполнять арифметические действия.

Основные достоинства позиционной системы счисления:
Ограниченное количество символов для записи чисел;
Простота выполнения арифметических операций.
Основание позиционной системы счисления (р) – количество символов, используемых для записи числа.

Задание 1.
Заполнить таблицу

Проверьте заполнение таблицы

Запись чисел в различных формах представления
Число А9 = 7 · 95 + 3 · 94 + 6 · 92 + 91 + 2
в свернутой форме записи
Число А = 317
в развернутой форме записи
А = 3 · 102 + 1 · 101 + 7 · 100
А9 = 736129

Правило перевода методом последовательного деления:
необходимо последовательно делить данное число и получаемые частные на новое основание р до тех пор, пока не получится частное, меньшее делителя;
составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка в обратном порядке.
10 → 2
19 = 100112
система счисления

Перевод чисел из позиционной СС с основанием р в десятичную систему счисления
Правило перевода:
представить число в развернутой форме;
вычислить сумму ряда.
Полученный результат является значением числа в 10-ой СС.
Пример: число 32015 перевести в 10-ую СС
32015 =
3 2 1 0
3 · 53 + 2 · 52 + 0 · 51 + 1 · 50 =
= 3 · 125 + 2 · 25 + 1
= 426
32015 = 426

Задание 2.
Заполнить пропуски

Проверьте заполнение таблицы

Самопроверка
Цифровой диктант
Часть 1.
(10110101) 2 = 128+32+16+4+1=181
Часть 2.
( 2 + 8 ) * 4 + 5 = 45
45 = (101101) 2

Памятник Петру 1
PETRO PRIMO
CATHARINA SECUNDA
MDCCL XXXII
Первые две строчки означают: «Петру1 –Екатерина2»
Что означает третья строка?

А) Какие числа записаны с помощью римских цифр:
CCCXXXIV; MCDX; XXVII; CLXXII.
Б) Запишите римскими цифрами числа:
45; 367; 1893; 2002.
Задание 3

САМОПРОВЕРКА
CCCXXXIV; MCDX; XXVII; CLXXII
334 1410 27 172
45; 367; 1893; 2002
XLV ; CCCLXVII ; MDCCCXCIII; MMII

Задание 4. Сравнить числа
Поставьте вместо знака ? знак <, > или =.
28510 ? 11D16
1111112 ? 11118
6С16 ? 1010012
5516 ? 1258

Самопроверка
Сравнить числа
28510 = 11D16
1111112 < 11118
6С16 > 1010012
5516 = 1258

Задача 1.
Было 53р груши. После того, как каждую разрезали пополам, стало 136 половинок. В СС с каким основанием вели счет?
1) Т.к. ответ дан в десятичной СС, определяем, сколько было целых груш? 136 : 2 = 68
2) Переводим 53р в десятичную СС и находим р:
53р = 5·р + 3 5р + 3 = 68 р = 13

Космонавты встретили инопланетянина, который свободно разговаривал на земном языке. Выяснилось, что у гостя 13 сыновей и 23 дочери, а всего детей – 106. Определите, какой системой счисления пользовался гость?
Задача 2.
13р + 23р = 106р р + 3 + 2·р + 3 = р2 + 6
3р + 6 = р2 + 6 р2 – 3р = 0
р (р - 3) = 0, р1 = 0 – не удовл. условию, р2 = 3

ЗАДАЧА 3.
Некогда был пруд, в центре которого рос один лист водяной лилии. Каждый день число таких листьев удваивалось, и на десятый день вся поверхность пруда уже была заполнена листьями лилий. Сколько дней понадобилось, чтобы заполнить лилиями половину пруда? Сосчитать сколько листьев выросло к десятому дню?

Ответ: 9 дней, 512 листьев.