Презентация на тему Гармонические колебания. гармонический осцилятор. Пружинный физический и математический маятники

5. Механические колебания и волны
5.1. Гармонические колебания и их характеристики
Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются опреде­ленной повторяемостью во времени.
Гармоническими колебаниями называются колебания, при которых колеб­лющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса.
А — амплитудой колебания, максимальное значение величины,
ω0 — круговая (угловая) частота,
ϕ — начальная фаза колебания, в мо­мент времени t=0,
(ω0t+ϕ) — фаза колебания в момент времени t.

- период колебаний
- частота колебаний
Связь между угловой и обычной частотой колебаний:
Единица частоты — герц (Гц): 1 Гц — частота периодического процесса, при кото­рой за 1 с совершается один цикл процесса.

Дифференциальное уравнение гармонических колебаний:
Решение дифференциального уравнения:

Вещественная часть вектора:
Гармонические колебания можно графически представить в виде вращающегося вектора:

5.2. Гармонический осциллятор. Пружинный, физический и математический маятники
Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описыва­емые уравнением вида;
1. Пружинный маятник — это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F = –kx.
Физические примеры гармонических осцилляторов.

Уравнение движения маятника:
Пружинный маятник совершает гармоничес­кие колебания по закону:
с циклической частотой
Потенциальная энергия пружинного маятника равна
и периодом

2. Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела.
Момент M возвращающей силы:
— возвращающая сила.

Уравнение динамики физического маятника:
или:
где:
Решение динамического уравнения:

3. Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести.
Период малых колебаний математического маятника:

1) Сложение параллельных колебаний одинаковой частоты.
Пусть имеется два гармонических сигнала Постановка задачи:
5.3. Сложение гармонических колебаний

Необходимо сложить два колебания с одинаковыми частотами:

Суммарное колебание s0(t) опережает по фазе колебание s1(t) и отстает по фазе от колебания s2(t).

2) Сложение параллельных гармонических колебаний
с близкими частотами.
Найдем сумму двух гармонических колебаний, частоты которых различны, но близки по величине:

Суммарное колебание можно рассматривать как «почти синусоидальное» колебание с «условным периодом»:
и с медленно меняющейся «амплитудой»
Периодические изменения амплитуды описанного выше вида называются биениями.
Период биений:
Частота биений равна разности частот слагаемых колебаний:

Чтобы получить траекторию движения, исключим из выражений текущее время и преобразуем синус по формулам тригонометрии:
3) Сложение взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковыми частотами.

Умножим первое уравнение на cos φ2, а второе — на cos φ1 и вычтем второе уравнение из первого
Теперь умножим первое уравнение на sin φ2, а второе — на sin φ1 , повторим вычитание, получим:
Возведем в квадрат каждое из равенств и сложим их.
В результате время будет исключено, а уравнение траектории движения будет уравнением эллипса:

В результате будут совершатьcя периодические движения по эллиптической траектории. Направление движения вдоль траектории и ориентация эллипса относительно осей s1 и s2 зависят от разности фаз Δφ = φ2 – φ1 .
При разности фаз 0 < Δφ < π вектор движется по часовой стрелке, а при π < Δφ < 2 π -против часовой стрелки.