Применение линейного программирования в математических моделях

Февраль 5, 2021

Главная
Разное
Применение линейного программирования в математических моделях

Содержание

2. /23 Литература Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов / Под ред. В.В. Федосеева.
3. /23 3.1. Принцип оптимальности в планировании и управлении Принцип оптимальности предполагает следующее: наличие определённых ресурсов наличие
4. /23 3.2. Задача линейного программирования Это развёрнутая форма записи Линейная целевая функция Линейные ограни-чения Условия неотрицательности
5. /23 3.2. Задача линейного программирования Это каноническая форма записи Линейная целевая функция Линейные ограни-чения Условия неотрицательности
6. /23 3.2. Задача линейного программирования Это матричная форма записи Она тождественна канонической форме Линейная целевая функция
7. /23 3.2. Задача линейного программирования Это стандартная форма записи Линейная целевая функция Линейные ограни-чения Условия неотрицательности
8. /23 3.2. Любой вектор x, удовлетворяющий ограничениям и условиям неотрицательности (безотносительно к целевой функции), называется допустимым
9. /23 3.2. ЗЛП может: не иметь ни одного оптимального решения допустимой области не существует – система
10. /23 3.2. z = max(x1+x2|0.1x1+0.2x2 ≤ 5, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0) x1=50, x2 =0;
11. /23 3.2. z = max(x1+x2|0.1x1+0.1x2 ≤ 5, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0) x1=50, x2 =0;
12. /23 3.2. z = max(x1+x2|x1+5x2 ≤ 1, x1+x2 ≥ 5, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0)
13. /23 3.2. z = max(2x1+x2|0.1x1+0.1x2 ≥ 5, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0) Неограниченность целевой функции
14. /23 3.3. Симплексный метод Исходные условия применения симплексного метода ЗЛП записана в канонической форме Её ограничения
15. /23 3.3. z = max(x1+x2|0.1x1+0.2x2 ≤ 5, x1–2x2 ≤ 75, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0)
16. /23 В таблице выделены жирным шрифтом 3.3. Разрешающий столбец: столбец с наибольшим положительным cj если положительного
17. /23 3.3. Выполняем обыкновенные жордановы исключения во всей таблице: для строк i ≠i' : aijнов =
18. /23 3.3. Опорное решение может быть получено по следующей процедуре: Выбираем произвольный набор базисных переменных и
19. /23 3.3. В некоторых случаях алгоритм симплексного метода может зацикливаться. Пути преодоления этой проблемы описаны в
20. /23 3.4. Экономические приложения линейного программирования Матрица потребности в ресурсах для обеспечения единичного объёма производства в
21. /23 3.4. Экономические приложения линейного программирования Вектор цен продукции (за вычетом НДС), руб./ед. Вектор цен ресурсов
22. Применение линейного программирования в математических моделях (с) Н.М. Светлов, 2007 /23 3.5. Программное обеспечение линейного программирования
24. Скачать презентацию

Слайд 2

/23
Литература
Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов / Под ред.

В.В. Федосеева. — 2-е изд. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. — глава 2.
Вентцель Е.С. Исследование операций: Задачи, принципы, методология. М.: Высшая школа, 2001.
Канторович Л.В. Экономический расчёт наилучшего использования ресурсов. М.: Изд-во АН СССР, 1960.
Светлов Н.М., Светлова Г.Н. Построение и решение оптимизационных моделей средствами программ MS Excel и XA: Методические указания для студентов экономического факультета / РГАУ – МСХА имени К.А. Тимирязева. М., 2005. http://svetlov.timacad.ru/umk1/xa_1.doc

Применение линейного программирования в математических моделях © Н.М. Светлов, 2007-2011

Слайд 3

/23
3.1. Принцип оптимальности в планировании и управлении
Принцип оптимальности предполагает следующее:
наличие определённых ресурсов
наличие

определённых технологических возможностей
цель хозяйственной деятельности
извлечение прибыли
удовлетворение потребностей
предотвращение угрозы
накопление знаний
и т.д.
Суть принципа:
планировать хозяйственную деятельность таким образом, чтобы при имеющихся ресурсах и технологиях не существовало способа достичь цели в большей степени, чем это предусматривает план
В полной мере этот принцип может быть реализован только с помощью экономико-математических моделей

Применение линейного программирования в математических моделях © Н.М. Светлов, 2007-2011

Слайд 4

/23
3.2. Задача линейного программирования
Это развёрнутая форма записи
Линейная целевая функция
Линейные ограни-чения
Условия неотрицательности переменных
Применение

линейного программирования в математических моделях © Н.М. Светлов, 2007-2011

Слайд 5

/23
3.2. Задача линейного программирования
Это каноническая форма записи
Линейная целевая функция
Линейные ограни-чения
Условия неотрицательности переменных
Любую

ЗЛП можно записать в каноническом виде (ограничения – равенства, свободные члены неотрицательны, решается на максимум)

Применение линейного программирования в математических моделях © Н.М. Светлов, 2007-2011

Слайд 6

/23
3.2. Задача линейного программирования
Это матричная форма записи
Она тождественна канонической форме
Линейная целевая функция
Линейные

ограни-чения

Условия неотрицательности переменных

Применение линейного программирования в математических моделях © Н.М. Светлов, 2007-2011

Слайд 7

/23
3.2. Задача линейного программирования
Это стандартная форма записи
Линейная целевая функция
Линейные ограни-чения
Условия неотрицательности переменных
Применение

линейного программирования в математических моделях © Н.М. Светлов, 2007-2011

Слайд 8

/23
3.2.
Любой вектор x, удовлетворяющий ограничениям и условиям неотрицательности (безотносительно к целевой функции),

называется допустимым решением
Если допустимых решений не существует, говорят, что система ограничений несовместна
Областью допустимых решений (ОДР) называется множество, включающее все допустимые решения данной ЗЛП
Допустимое решение x*, доставляющее наибольшее значение целевой функции среди всех допустимых решений данной ЗЛП, называется оптимальным решением
часто его называют просто решением ЗЛП

Применение линейного программирования в математических моделях © Н.М. Светлов, 2007-2011

Слайд 9

/23
3.2.
ЗЛП может:
не иметь ни одного оптимального решения
допустимой области не существует – система

ограничений не совместна
z = max(x1+x2|x1+5x2 ≤ 1, x1+x2 ≥ 5, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0)
допустимая область существует, но не ограничивает целевую функцию
z = max(2x1+x2|0.1x1+0.1x2 ≥ 5, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0)
иметь одно оптимальное решение
z = max(x1+x2|0.1x1+0.2x2 ≤ 5, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0)
x1=50, x2 =0; z = 50
иметь бесконечно много оптимальных решений
z = max(x1+x2|0.1x1+0.1x2 ≤ 5, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0)
x1=50, x2 =0; z = 50 … x1=0, x2 =50; z = 50

Компактная запись

Применение линейного программирования в математических моделях © Н.М. Светлов, 2007-2011

Слайд 10

/23
3.2.
z = max(x1+x2|0.1x1+0.2x2 ≤ 5, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0)
x1=50,

x2 =0; z = 50

Применение линейного программирования в математических моделях © Н.М. Светлов, 2007-2011

Слайд 11

/23
3.2.
z = max(x1+x2|0.1x1+0.1x2 ≤ 5, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0)
x1=50,

x2 =0; z = 50 … x1=0, x2 =50; z = 50

Применение линейного программирования в математических моделях © Н.М. Светлов, 2007-2011

Слайд 12

/23
3.2.
z = max(x1+x2|x1+5x2 ≤ 1, x1+x2 ≥ 5, x1 ≥ 0, x2

≥ 0)

Несовместность системы ограничений

Применение линейного программирования в математических моделях © Н.М. Светлов, 2007-2011

Слайд 13

/23
3.2.
z = max(2x1+x2|0.1x1+0.1x2 ≥ 5, x1 ≥ 0, x2 ≥ 0)
Неограниченность целевой

функции

Применение линейного программирования в математических моделях © Н.М. Светлов, 2007-2011

Слайд 14

/23
3.3. Симплексный метод
Исходные условия применения симплексного метода
ЗЛП записана в канонической форме
Её ограничения

линейно независимы
Известно опорное решение, в котором:
имеется не более m ненулевых переменных
задача содержит n переменных и m ограничений
все ограничения выполняются
m переменных, называемых базисными (среди которых все ненулевые)
выражены через:
n–m переменных, называемых свободными (каждая равна нулю)
свободный член ограничения
Результат этой процедуры записан в начальную (первую, исходную) симплексную таблицу

Применение линейного программирования в математических моделях © Н.М. Светлов, 2007-2011

Слайд 15

/23
3.3.
z = max(x1+x2|0.1x1+0.2x2 ≤ 5, x1–2x2 ≤ 75, x1 ≥ 0, x2

≥ 0)
x1=50, x2 =0; z = 50
Каноническая форма:
max x1+x2
0.1x1+0.2x2+x3 = 5
x1–2x2 +x4 = 75
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0, x4 ≥ 0

Применение линейного программирования в математических моделях © Н.М. Светлов, 2007-2011

Слайд 16

/23
В таблице выделены жирным шрифтом
3.3.
Разрешающий столбец:
столбец с наибольшим положительным cj
если положительного cj нет, достигнут оптимум
Разрешающая

строка:
для всех положительных aij в выбранном столбце считаем bi /aij
если положительных нет, ц.ф. не ограничена
выбираем строку, где это значение минимально

Применение линейного программирования в математических моделях © Н.М. Светлов, 2007-2011

Слайд 17

/23
3.3.
Выполняем обыкновенные жордановы исключения во всей таблице:
для строк i ≠i' : aijнов

= aij – ai'jaij' /ai'j' , где
i' и j' – координаты выбранных (разрешающих) строки и столбца
для строки i =i' : aijнов = aij /ai'j'

Положительных cj больше нет – достигнут оптимум (в больших задачах для этого требуются тысячи итераций)

Слайд 18

/23
3.3.
Опорное решение может быть получено по следующей процедуре:
Выбираем произвольный набор базисных переменных

и выражаем их через свободные
Если строк с отрицательными свободными членами нет – опорное решение получено; иначе – п.3.
Одну из таких строк выбираем в качестве вспомогательной целевой функции и проводим по ней процедуру решения на минимум, используя алгоритм симплекс-метода
Если в качестве разрешающей выбирается строка с отрицательным свободным членом, то разрешающий элемент тоже должен быть отрицательным
для всех aij в выбранном столбце считаем bi /aij
наименьшее положительное значение этого отношения указывает разрешающую строку
если положительных нет, выбираем другую строку с отрицательным свободным членом в качестве вспомогательной целевой функции
если таковых не находится, опорных решений не существует (целевая функция не ограничена множеством допустимых решений)
Если оптимум достигнут при отрицательном свободном члене – система ограничений несовместна; иначе – п.5
Как только достигнуто положительное значение свободного члена, переходим к п.2.

Слайд 19

/23
3.3.
В некоторых случаях алгоритм симплексного метода может зацикливаться.
Пути преодоления этой проблемы описаны

в рекомендуемой литературе.

Слайд 20

/23
3.4. Экономические приложения линейного программирования
Матрица потребности в ресурсах для обеспечения единичного объёма

производства в каждой отрасли.
Строки – ресурсы, столбцы – отрасли.

Объёмы невоспроизводимых ресурсов (земельные угодья, трудовые ресурсы, запасы полезных ископаемых и т.п.), имеющиеся в распоряжении народного хозяйства

Матрица затрат (+) и выпуска (-) ресурсов при единичном объёме производства в каждой отрасли.
Строки – ресурсы, столбцы – отрасли.

Вектор, состоящий из нулей

Матрица выпуска (+) конечной продукции при единичном объёме производства в каждой отрасли.
Строки – виды продукции, столбцы – отрасли.

Вектор объёмов потребления каждого вида конечной продукции при единичном (стандартном) уровне удовлетворения потребностей

Слайд 21

/23
3.4. Экономические приложения линейного программирования
Вектор цен продукции (за вычетом НДС), руб./ед.
Вектор цен

ресурсов (включая НДС), руб./ед.

Матрица затрат ресурсов на производство и реализацию единицы продукции, ед.рес./ед.прод.

Вектор наличия (начальных запасов) ресурсов

Матрица объёмов обязательств, выполняемых вследствие реализации единицы продукции каждого вида

Объёмы обязательств, имеющихся у предприятия и учитываемых при оптимальном планировании (выполнение которых зависит от составленного плана)

Слайд 22