Проект «Математика ставит эксперимент»

1. На рисунке изображён график изменения температуры охлаждения смолы. Запишите формулу зависимости между температурой и временем.
О т в е т. T ∙ t = 50
Функция
Т◦С
t час

Система уравнений
3. Коэффициент трения F ременной передачи в зависимости от скорости V скольжения ремня определяют по формуле f = a + bV. Определите постоянные a и b, если на опыте было найдено, что при скорости скольжения V = 0,1 м/с коэффициент трения f1 = 0, а при скорости скольжения V = 0,5 м/с – f2 = 0,5.
О т в е т. а = 0,375, b = 0,25.

Неравенства
4. Диаметр шкива электродвигателя, который делает 960 оборотов в минуту, равен 150 мм. На сколько миллиметров должен быть меньше диаметр нового шкива, чтобы электродвигатель делал не менее чем 1200 оборотов в минуту?
У к а з а н и е. Если диаметр шкива уменьшится на х мм, то задача сводится к решению неравенства

5. В грузовом автомобиле с двумя колёсами спереди и четырьмя сзади шины передних колёс стираются через 20000 км пройденного пути, а задних – через 30000 км. Сколько километров можно проехать на тех же шинах, если их своевременно поменять местами?
Неравенства

Р е ш е н и е. Количество резины, которое стирается на одной шине, пока она пригодна, возьмём за единицу. Тогда перед началом эксплуатации автомобиля есть 6 единиц резины. Если шина стоит на переднем колесе, то на 1 км пути стирается единицы, если на заднем - единицы.
Итак на 1 км пути стирается
единицы резины, а за х километров пути
Поскольку в автомобиле может стереться не более 6 единиц резины, то имеем неравенство
Шины сотрутся одновременно на пути если каждая из них пройдёт 1/3 пути на переднем колесе.
На тех же шинах можно проехать приблизительно 25700 км.

V. Прогрессии
6. Ступенчатый шкив состоит из 10 ступеней. Диаметры их образуют арифметическую прогрессию. Наибольший диаметр 300 мм, наименьший - 210 мм. Найдите другие диаметры.
О т в е т. 220, 230, …, 290.

7. Найдите силу F, которую необходимо приложить к свободному концу жгутового каната, чтобы удержать груз Р = 4 ⋅ 103 Н при помощи полиспаста, который состоит из четырёх блоков. Известно, что благодаря трению натяжение каната полиспаста изменяется в геометрической прогрессии, знаменатель которой q = 0,837.
О т в е т. F = 1530 Н.
V. Прогрессии
полиспаст

8. Сжатием заготовки на прокатном стане называют величину Δh = h1 – h2, где h1 и h2 толщина заготовки до и после прокатывая. Докажите, что Δh = 2d sin2(α/2), где d – диаметр вала и α – угол захвата.
У к а з а н и е. Из прямоугольного треугольника АОВ: ОВ = 0,5 d cos α.
Δh = h1 - h2 = 2⋅ВС = 2⋅(0,5d – ОВ)
= 2⋅(0,5d – 0,5dcosα) = d(1 - cosα) = 2dsin2(α/2).
Тригонометрия

Производная функции
9. Конструируя трансформаторы переменного тока, стремятся к тому, чтобы железный сердечник сечения как можно больше заполнял внутреннюю область цилиндрической катушки. Определите размеры х и у сечения сердечника, если радиус катушки равен R.