Проектирование бизнеса. Практика 2. Финансовая математика. Аннуитет

Модели финансовых потоков
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Аннуитет (финансовая рента) — это ряд последовательных платежей через одинаковые промежутки времени
Пример 21. Регулярные взносы в пенсионный фонд — это пример аннуитета
Задача 21. Привести пример аннуитета.
Rj — это величина отдельного платежа ренты.
Срок ренты t — это время от начала реализации ренты до момента последнего платежа.
Интервал ренты — это время между двумя последовательными платежами.
Если все платежи равны между собой, то это постоянная рента, иначе — переменная рента.
Ренты постнумерандо - все платежи осуществляются в конце интервалов ренты
Ренты пренумерандо - все платежи осуществляются в начале интервалов ренты = приведенные.
Тимофеева А.А. 2020 СпбПУ (на базе пособия Просветова Г.И.)

Современная (приведенная) стоимость ренты А — это все платежи вместе с процентами, пересчитанные на начальный момент времени ренты с помощью операции математического дисконтирования
Для расчета наращения или дисконтирования платежей используется сложная процентная ставка і
Наращенная (будущая) сумма ренты S — это все платежи вместе с процентами на дату последней выплаты
Существуют ренты верные (выплата не ограничена никакими условиями) и условные (выплата обусловлена наступлением какого-то события). Страховые взносы — это пример условной ренты
р — число рентных платежей в году, а число m показывает, сколько раз в году начисляются проценты. Ренты, для которых р = m, называются простыми. Ренты, для которых р не равно m, называются общими
Тимофеева А.А. 2020 СпбПУ (на базе пособия Просветова Г.И.)

НАХОЖДЕНИЕ НАРАЩЕННОЙ СУММЫ ДЛЯ ПРОСТОЙ РЕНТЫ ПОСТНУМЕРАНДО
Пусть R — ежегодные платежи, на которые начисляются проценты в конце каждого года по сложной процентной ставке і, n — срок ренты
Платеж в конце 1-го года даст наращенную сумму
Платеж в конце 2-го года даст наращенную сумму
Платеж в конце 3-го года даст наращенную сумму
И т. д.
Мы получили сумму n первых членов геометрической прогрессии c b1 = R и
знаменателем q = 1 + і.
Пример 22. Вкладчик в течение n = 5 лет вносит в банк R = 1000 руб. Проценты на вклад начисляются по сложной процентной ставке і = 15% годовых.
Тогда наращенная (будущая) сумма ренты:
Задача 22. Вкладчик в течение n = 3 лет вносит в банк R = 1200 руб. Проценты на вклад начисляются по сложной процентной ставке і = 14% годовых. Найти наращенную (будущую) сумму ренты
Тимофеева А.А. 2020 СпбПУ (на базе пособия Просветова Г.И.)

НАХОЖДЕНИЕ НАРАЩЕННОЙ СУММЫ ДЛЯ ПРОСТОЙ РЕНТЫ ПОСТНУМЕРАНДО
Пусть R — ежегодные платежи, на которые начисляются проценты в конце каждого года по сложной процентной ставке і, n — срок ренты
Платеж в конце 1-го года даст наращенную сумму
Платеж в конце 2-го года даст наращенную сумму
Платеж в конце 3-го года даст наращенную сумму
И т. д.
Мы получили сумму n первых членов геометрической прогрессии С b1 = R и знаменателем q = 1 + і.
Пример 22. Вкладчик в течение n = 5 лет вносит в банк R = 1000 руб. Проценты на вклад начисляются по сложной процентной ставке і = 15% годовых.
Тогда наращенная (будущая) сумма ренты:
Задача 22. Вкладчик в течение n = 3 лет вносит в банк R = 1200 руб. Проценты на вклад начисляются по сложной процентной ставке і = 14% годовых. Найти наращенную (будущую) сумму ренты
Тимофеева А.А. 2020 СпбПУ (на базе пособия Просветова Г.И.)

НАХОЖДЕНИЕ НАРАЩЕННОЙ СУММЫ ДЛЯ ПРОСТОЙ РЕНТЫ ПРЕНУМЕРАНДО
Пусть R — ежегодные платежи, на которые начисляются проценты в начале каждого года по сложной процентной ставке і, n — срок ренты
Платеж в начале 1-го года даст наращенную сумму
Платеж в начале 2-го года даст наращенную сумму
Платеж в начале 3-го года даст наращенную сумму
И т. д.
Мы получили сумму n первых членов геометрической прогрессии
Пример 23. Определим наращенную (будущую) сумму в примере 22 для ренты пренумерандо. Вкладчик в течение n = 5 лет вносит в банк R = 1000 руб. Проценты на вклад начисляются по сложной процентной ставке і = 15% годовых
Задача 23. Определить наращенную (будущую) сумму в задаче 22 для ренты пренумерандо. Вкладчик в течение n = 3 лет вносит в банк R = 15000 руб. Проценты на вклад начисляются по сложной процентной ставке і = 8% годовых. Найти наращенную (будущую) сумму ренты

НАХОЖДЕНИЕ СОВРЕМЕННОЙ СТОИМОСТИ ДЛЯ ПРОСТОЙ РЕНТЫ
Пусть R — ежегодные платежи, на которые начисляются проценты в конце каждого года по сложной процентной ставке і, n — срок ренты. Определим современную стоимость ренты, то есть используем операцию математического дисконтирования
Платеж в конце 1-го года даст современную стоимость
Платеж в конце 2-го года даст современную стоимость
Платеж в конце 3-го года даст современную стоимость
И т. д.
Мы получили сумму n первых членов геометрической прогрессии с
Это современная стоимость простой ренты постнумерандо. Подставив в эту формулу вместо
получим современную стоимость простой ренты пренумерандо
Тимофеева А.А. 2020 СпбПУ (на базе пособия Просветова Г.И.)

Пример 24. Определим современную стоимость простой ренты из примера 22
Вкладчик в течение n = 5 лет вносит в банк R = 1000 руб. Проценты на вклад начисляются по сложной процентной ставке і = 15% годовых.
Задача 24. Определить современную стоимость простой ренты из задачи 22.
Вкладчик в течение n = 5 лет вносит в банк R = 125000 руб. Проценты на вклад начисляются по сложной процентной ставке і = 7% годовых
Пример 25. Определим современную стоимость простой ренты из примера 23
Пример 23. Определим наращенную (будущую) сумму в примере 22 для ренты пренумерандо. Вкладчик в течение n = 5 лет вносит в банк R = 1000 руб. Проценты на вклад начисляются по сложной процентной ставке і = 15% годовых
Задача 25. Определить современную стоимость простой ренты из задачи 23
Определить наращенную (будущую) сумму в задаче 22 для ренты пренумерандо. Вкладчик в течение n = 3 лет вносит в банк R = 1200 руб. Проценты на вклад начисляются по сложной процентной ставке і = 14% годовых. Найти наращенную (будущую) сумму ренты
Тимофеева А.А. 2020 СпбПУ (на базе пособия Просветова Г.И.)

Тимофеева А.А. 2020 СпбПУ (на базе пособия Просветова Г.И.)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ ОТДЕЛЬНОГО ПЛАТЕЖА ПРОСТОЙ РЕНТЫ
Зная процентную ставку і, период n и наращенную сумму S (или современную стоимость А) простой ренты, можно определить величину отдельного платежа R. Для простой ренты постнумерандо наращенная (будущая) сумма ренты
Пример 26. Определим размер ежегодных платежей в конце года по сложной процентной ставке і = 12% годовых для накопления через n = 3 года суммы S = 50000 руб
Задача 26. Определить размер ежегодных платежей в конце года по сложной процентной ставке і = 10% годовых для накопления через n = 5 года суммы S = 570000 руб.
Тимофеева А.А. 2020 СпбПУ (на базе пособия Просветова Г.И.)

Для простой ренты пренумерандо наращенная (будущая)
сумма ренты
Пример 27. Пусть в примере 26 платежи осуществляются в начале года.
Определим размер ежегодных платежей в конце года по сложной процентной ставке і = 12% годовых для накопления через n = 3 года суммы S = 50000 руб
Задача 27. Решить задачу 26 при условии, что платежи осуществляются в начале года.
Определить размер ежегодных платежей в конце года по сложной процентной ставке і = 14% годовых для накопления через n = 4 года суммы S = 70000 руб.
Тимофеева А.А. 2020 СпбПУ (на базе пособия Просветова Г.И.)

Для простой ренты постнумерандо современная стоимость
Пример 28. Взят кредит на сумму А = 50000 руб. сроком на л — З года под 14% годовых.
Тогда размер ежегодных погасительных платежей в конце года
Задача 28. Взят кредит на сумму А = 60000 руб. сроком на п = 4 года под 15% годовых. Найти размер ежегодных погасительных платежей в конце года.
Тимофеева А.А. 2020 СпбПУ (на базе пособия Просветова Г.И.)

Для простой ренты пренумерандо современная стоимость
Пример 29. Пусть в примере 28 платежи осуществляются в начале каждого года. Тогда
Пример 28. Взят кредит на сумму А = 50000 руб. сроком на л — З года под 14% годовых.
Тогда размер ежегодных погасительных платежей в конце года
Задача 29. Решить задачу 28 при условии, что платежи осуществляются в начале каждого года
Задача 28. Взят кредит на сумму А = 60000 руб. сроком на п = 4 года под 15% годовых. Найти размер ежегодных погасительных платежей в конце года.
Тимофеева А.А. 2020 СпбПУ (на базе пособия Просветова Г.И.)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРОКА ПРОСТОЙ РЕНТЫ
Зная величину отдельного платежа R, процентную ставку і и наращенную сумму S (или современную стоимость А) простой ренты, можно определить количество выплат n.
Для простой ренты постнумерандо наращенная (будущая)
сумма ренты
Отсюда
Подставив в последнюю формулу вместо R выражение R(1 + і), мы получим срок ренты пренумерандо:
Тимофеева А.А. 2020 СпбПУ (на базе пособия Просветова Г.И.)

Пример 30. Размер ежегодных платежей R = 5000 руб., процентная ставка і = 12% годовых, наращенная сумма S = 30000 руб. Определим сроки простых рент постнумерандо и пренумерандо.
Для ренты постнумерандо
Для ренты пренумерандо
Задача 30. Размер ежегодных платежей R = 180000 руб., процентная ставка і = 12% годовых, наращенная сумма S = 640000 руб. Определить сроки простых рент постнумерандо
Тимофеева А.А. 2020 СпбПУ (на базе пособия Просветова Г.И.)

Для простой ренты постнумерандо современная стоимость
Подставив в последнюю формулу вместо R выражение R(1 + і), мы получим срок ренты пренумерандо:
Пример 31. Определим сроки погашения кредита А = 30000 руб. при ежегодных платежах R = 9000 руб. и процентной ставке і = 15% годовых для рент постнумерандо и пренумерандо.
Для ренты постнумерандо
Для ренты пренумерандо
Задача 31. Определить сроки погашения кредита А = 45000 руб. при ежегодных платежах R = 12000 руб. и процентной ставке і = 11% годовых для рент постнумерандо и пренумерандо.
Тимофеева А.А. 2020 СпбПУ (на базе пособия Просветова Г.И.)

Пример 31. Определим сроки погашения кредита А = 30000 руб. при ежегодных платежах R = 9000 руб. и процентной ставке і = 15% годовых для рент постнумерандо и пренумерандо.
Для ренты постнумерандо
Для ренты пренумерандо
Тимофеева А.А. 2020 СпбПУ (на базе пособия Просветова Г.И.)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ ПРОСТОЙ РЕНТЫ
Зная величину отдельного платежа R, количество выплат n и наращенную сумму S (или современную стоимость А) простой ренты, можно попытаться найти процентную ставку. Но получается нелинейное уравнение
Пример 32. Определим, под какую процентную ставку нужно вносить каждый год R = 5000 руб., чтобы через n = 5 лет накопить сумму S = 40000 руб.
Для ренты постнумерандо СТАВКА(5; -5000; ; 40000) = 24%.
Для ренты пренумерандо СТАВКА(5; -5000; ; 40000; 1) =16%
Задача 32. Определить, под какую процентную ставку нужно вносить каждый год R = 6000 руб., чтобы через п = 4 года накопить сумму S = 35000 руб.
Тимофеева А.А. 2020 СпбПУ (на базе пособия Просветова Г.И.)

ОТЛОЖЕННАЯ РЕНТА
Срок реализации отложенных рент откладывается на некоторое время — период отсрочки.
Пример 33. Простая рента с ежегодными платежами R = 1000 руб., процентной ставкой і = 12% годовых и сроком n = 4 года отложена на 2 года. Найдем наращенную сумму S и современную стоимость А ренты.
Добавим к нашей ренте на бумаге платежи R = 1000 руб. в конце 1-го и 2-го годов.
Получили простую ренту сроком n = 6 лет. Ее наращенная сумма
Но эта простая рента состоит из простой ренты сроком n2 = 2 года (добавленные на бумаге платежи) и нашей отложенной ренты.
Для добавленной ренты наращенная сумма в конце 2-го
Тимофеева А.А. 2020 СпбПУ (на базе пособия Просветова Г.И.)

Для нахождения современной стоимости А отложенной ренты можно применить аналогичный прием. Но мы поступим иначе.
Найдем приведенную стоимость нашей ренты через 2 года:
А теперь применим к сумме А операцию математического дисконтирования со сложной процентной ставкой і = 12% годовых
Задача 33. Простая рента с ежегодными платежами r = 1200 руб., процентной ставкой і = 14% годовых и сроком n = 5 лет отложена на 3 года. Найти наращенную сумму S и современную стоимость А ренты.
Тимофеева А.А. 2020 СпбПУ (на базе пособия Просветова Г.И.)

СВЕДЕНИЕ ОБЩЕЙ РЕНТЫ К ПРОСТОЙ РЕНТЕ
Пусть р — число рентных платежей в году, а число m показывает, сколько раз в году начисляются проценты. Для общей ренты р не равно m, а для простой ренты р = m.
W и R — величины выплат общей и простой рент соответственно,
р — число рентных платежей в году для общей ренты,
m — число интервалов начисления процентов в году,
j и і — процентные ставки за интервал начисления процентов общей и простой рент соответственно,
n — общее число интервалов начисления процентов.
Данные ренты эквивалентны, то есть процентные ставки за периоды рент совпадают и эквивалентные этим рентам значения, соответствующие одному и тому же моменту времени, совпадают. Тогда
Наращенные суммы для обеих рент одинаковы:
Тимофеева А.А. 2020 СпбПУ (на базе пособия Просветова Г.И.)

Пример 34. Заменим общую ренту сроком 3 года с выплатами по W = 15000 руб. в конце каждого полугодия и начислением процентов по ставке 12% годовых ежеквартально простой рентой с поквартальными выплатами
Поквартальные выплаты
Задача 34. Заменить общую ренту сроком 3 года с выплатами по W = 20000 руб. в конце каждого квартала и начислением процентов по ставке 15% годовых ежемесячно простой рентой с ежемесячными выплатами.
Тимофеева А.А. 2020 СпбПУ (на базе пособия Просветова Г.И.)

НАРАЩЕННАЯ СУММА ОБЩЕЙ РЕНТЫ
Подставив в формулу для наращенной суммы простой ренты
мы найдем наращенную сумму общей ренты:
Здесь n — это общее количество интервалов начисления процентов за весь срок ренты
Пример 35. Найдем наращенную сумму общей ренты сроком 3 года с выплатами по W = 5000 руб. в конце каждого квартала и начислением процентов по ставке 14% годовых по полугодиям.
Задача 35. Найти наращенную сумму общей ренты сроком 2 года с выплатами по W = 7000 руб. в конце каждого квартала и начислением процентов по ставке 11% годовых ежемесячно.
Тимофеева А.А. 2020 СпбПУ (на базе пособия Просветова Г.И.)

СОВРЕМЕННАЯ СТОИМОСТЬ ОБЩЕЙ РЕНТЫ
Подставив в формулу для современной стоимости простой
ренты
Пример 36. Найдем современную стоимость общей ренты из примера 35.
Пример 35. Найдем наращенную сумму общей ренты сроком 3 года с выплатами по W = 5000 руб. в конце каждого квартала и начислением процентов по ставке 14% годовых по полугодиям.
Задача 36. Найти современную стоимость общей ренты из задачи 35.
Задача 35. Найти наращенную сумму общей ренты сроком 2 года с выплатами по W = 7000 руб. в конце каждого квартала и начислением процентов по ставке 11% годовых ежемесячно
Тимофеева А.А. 2020 СпбПУ (на базе пособия Просветова Г.И.)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОСТОЙ РЕНТЫ В ОБЩУЮ РЕНТУ
Необходимость в таком преобразовании возникает, когда нужно найти величину выплат общей ренты по заданному значению наращенной суммы или современной стоимости.
Пример 37. Выдан кредит А = 40000 руб. на 2 года по ставке 12% годовых ежемесячно. Определим размер поквартальных платежей W.
Задача 37. Выдан кредит А = 50000 руб. на 3 года по ставке 16% годовых ежеквартально. Определить размер полугодовых платежей W.
Тимофеева А.А. 2020 СпбПУ (на базе пособия Просветова Г.И.)

ПРОСТАЯ БЕССРОЧНАЯ РЕНТА
Бессрочная рента не ограничена никаким сроком
Пример 38. Инвестирование суммы А = 40000 руб. под і - 5% годовых обеспечивает выплаты
R = Ai = 40000 X 0,05 = 2000 руб. в конце каждого года.
Задача 38. Сумму А = 50000 руб. инвестировали под i = 4% годовых. Найти размер ежегодных выплат в конце каждого года.
Тимофеева А.А. 2020 СпбПУ (на базе пособия Просветова Г.И.)

ОБЩАЯ БЕССРОЧНАЯ РЕНТА
Общая бессрочная рента — это бессрочная рента, для которой период выплат отличается от периода начисления процентов.
Пример 39. Найдем современную стоимость общей бессрочной ренты с выплатами по W = 5000 руб. в конце каждого квартала и начислением процентов по ставке 12% годовых ежемесячно.
Задача 39. Найти современную стоимость общей бессрочной ренты с выплатами по W = 8000 руб. в конце каждого полугодия и начислением процентов по ставке 16% годовых ежеквартально.
Тимофеева А.А. 2020 СпбПУ (на базе пособия Просветова Г.И.)

БЕССРОЧНАЯ РЕНТА ПРЕНУМЕРАНДО
Бессрочная рента пренумерандо отличается от бессрочной ренты постнумерандо только платежом в момент времени t = 0. Поэтому для простой бессрочной ренты пренумерандо современная стоимость А = R + R/i, а для общей бессрочной ренты пренумерандо современная стоимость
А = W + R/i =
Пример 40. Найдем современную стоимость общей бессрочной ренты с выплатами по W = 10000 руб. в начале каждого квартала и начислением процентов по ставке 18% годовых по полугодиям.
Задача 40. Найти современную стоимость общей бессрочной ренты с выплатами по W = 9000 руб. в начале каждого полугодия и процентной ставкой 12% годовых ежеквартально.
Тимофеева А.А. 2020 СпбПУ (на базе пособия Просветова Г.И.)

Арифметика ипотеки
Ипотека — это кредитование под залог жилья. Как начисляются и уплачиваются проценты? Каков план погашения долга?
ВАРИАНТ 1: АННУИТЕТ
Пример 134. Банк выдает кредит на сумму А = 30000 долл., срок n= 5 лет, процентная ставка і = 5% годовых. Составим план погашения долга.
Один из возможных вариантов — простая рента постнумерандо.
Всего за 5 лет будет выплачено 5X6929,24 = 34646,2 долл.
Задача 134. Банк выдает кредит на сумму А = 40000 долл., срок n = 10 лет, процентная ставка і = 10% годовых. Составить план погашения долга с помощью простой ренты постнумерандо
Тимофеева А.А. 2020 СпбПУ (на базе пособия Просветова Г.И.)

ВАРИАНТ 2: СПРАВЕДЛИВЫЙ, НО НЕ ОЧЕНЬ УДОБНЫЙ
Кредит погашается равномерно с уплатой процентов на остаток долга. Платеж в j-й год определяется формулой
от остатка долга на начало j-го года)
Пример 135. Применим этот вариант в примере 134. Заполним таблицу.
Для нулевого года указан только остаток долга. Во 2-м столбце указана 1/n = 1/5-я часть кредита.
Каждое число 3-го столбца равно 5% от числа из последнего столбца предыдущей строки. 4-й столбец (выплата в j-м году) — это сумма соответствующих чисел из 2-го и 3-го столбцов. Каждое число последнего столбца есть разность числа из последнего столбца предыдущей строки и числа из 2-го столбца этой же строки. В последней строке указана сумма чисел соответствующего столбца.
Всего за 5 лет будет выплачено 34500 долл. Это несколько меньше, чем в предыдущем варианте (поэтому вариант справедливый). Но выплаты смещены к началу срока погашения кредита (поэтому для заемщика вариант не очень удобный). Схема типична для российского банка
Задача 135. Применить этот вариант в задаче 134
Пример 134. Банк выдает кредит на сумму А = 30000 долл., срок n= 5 лет, процентная ставка і = 5% годовых.
Тимофеева А.А. 2020 СпбПУ (на базе пособия Просветова Г.И.)

ВАРИАНТ 3: ПРОСТОЙ, НО ГРАБИТЕЛЬСКИЙ
К основной сумме долга прибавляются простые проценты за 5 лет. И все это делится на срок погашения кредита. Такова ежегодная выплата.
Пример 136. Применим этот вариант в примере 134. (30000 + 0,05х5х30000)/5 = 37500/5 = 7500 долл.
Всего за 5 лет будет выплачено 37500 долл. Здесь заемщик платит проценты на всю сумму кредита в течение всего срока погашения, даже на ту часть долга, которую он уже вернул.
Пример 134. Банк выдает кредит на сумму А = 30000 долл., срок n= 5 лет, процентная ставка і = 5% годовых.
Задача 136. Что обещает грабительский вариант в задаче 134?
Задача 134. Банк выдает кредит на сумму А = 40000 долл., срок n = 10 лет, процентная ставка і = 10% годовых. Составить план погашения долга с помощью простой ренты постнумерандо
Тимофеева А.А. 2020 СпбПУ (на базе пособия Просветова Г.И.)

ВАРИАНТ 4: «ХВОСТ», ПОГАШАЕМЫЙ В КОНЦЕ СРОКА
Заемщик вносит в течение п 1 года определенную фиксированную сумму плюс проценты на остаток долга, а в последний год возвращает остаток долга и проценты по нему.
Пример 137. Применим этот вариант в примере 134. Пусть размер ежегодного платежа равен 5000 долл.
Пример 134. Банк выдает кредит на сумму А = 30000 долл., срок n= 5 лет, процентная ставка і = 5% годовых.
Задача 137. Применить этот вариант в задаче 134, приняв размер основного ежегодного платежа (без процентов) 3000 долл.
Задача 134. Банк выдает кредит на сумму А = 40000 долл., срок n = 10 лет, процентная ставка і = 10% годовых. Составить план погашения долга с помощью простой ренты постнумерандо
Тимофеева А.А. 2020 СпбПУ (на базе пособия Просветова Г.И.)