Производная и ее применение.

«Если продолжить одно из маленьких звеньев ломаной, составляющей кривую линию, то эта продолженная таким образом сторона будет называться касательной к кривой.»
1. Геометрический смысл производной.

Касательная к кривой.

Производная
- это угловой коэффициент касательной.
Р
Р1

Угловой коэффициент прямой.
Прямая проходит через начало
координат и точку Р(3; -1). Чему
равен ее угловой коэффициент?
y=kx+b
y=kx
Повторение.

Найдите угловые коэффициенты прямых:
2
1
3
4
1
k=0,5
2
k=3
3
k=0
4
k=-1

k – угловой коэффициент прямой(секущей)
Секущая стремится занять положение касательной. То есть, касательная есть предельное положение секущей.
Секущая
1. Геометрический смысл производной.
Р
Р1

Касательная
Угловой коэффициент касательной можно найти как
предел выражения:

k – угловой коэффициент прямой(секущей)
Касательная
Секущая
Опредление производной от функции в данной точке.

k – угловой коэффициент прямой(касательной)
Касательная
Геометрический смысл производной
Производная от функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

k – угловой коэффициент прямой(секущей)
Касательная
А
В
Геометрический смысл производной. Производная от функции в данной точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.
Опредление производной от функции в данной точке.

Исаак Ньютон (1643 – 1727)
«Когда величина является максимальной или минимальной, в этот момент она не течет ни вперед, ни назад.»
2. Механический смысл производной.

2. Механический смысл производной.
t
t1
Свободное падение

2. Механический смысл производной.
t
t1
Свободное падение
v=gt

Используя слово «предел», можно сказать, что мгновенная скорость в точке t – это предел средней скорости при стягивании отрезка, на котором она изменяется, в точку t или в символической записи
2. Механический смысл производной.
Производная
- это скорость