Радиотехнические цепи и сигналы

5. Узкополосные сигналы
Узкополосные сигналы - это особый класс радиотехнических сигналов с ограниченным спектром, которые возникают на выходе частотно-избирательных цепей и устройств.
По определению, сигнал называется узкополосным, если его спектральная плотность отлична от нуля лишь в пределах частотных интервалов шириной П, образующих окрестности точек
. причем должно выполняться условие

5.1. Математическая модель узкополосного сигнала
Если / — низкочастотный сигнал, спектр которого сосредоточен в окрестности нулевой частоты, то колебание при достаточно большом значении будет обладать всеми необходимыми признаками узкополосного сигнала, поскольку его спектр окажется сконцентрированным в малых окрестностях точек
Узкополосным будет и сигнал отличающийся фазой «быстрого» сомножителя. Наиболее общую математическую модель узкополосного сигнала можно получить, составив линейную комбинацию вида
Обе входящие сюда функции времени As(t) и Bs(t) являются низкочастотными в том смысле, что их относительные изменения за период высокочастотных колебаний достаточно малы. Функцию As(t) принято называть синфазной амплитудой узкополосного сигнала s(t) при заданном значении опорной частоты , а функцию Bs(t) — его квадратурной амплитудой.

Выделение квадратурных составляющих
узкополосного сигнала
Синфазную и квадратурную амплитуды можно выделить аппаратурным способом. Действительно, пусть имеется перемножающее устройство, на один из входов которого подан узкополосный сигнал s(t), а на другой — вспомогательное колебание, изменяющееся во времени по закону . На выходе перемножителя будет получен сигнал
Пропустим выходной сигнал перемножителя через фильтр нижних частот (ФНЧ), подавляющий составляющие с частотами порядка
Ясно, что с выхода фильтра будет поступать низкочастотное колебание, пропорциональное синфазной амплитуде As(t).

Независящее от времени число называют комплексной амплитудой гармонического колебания.
С физической точки зрения узкополосные сигналы представляют собой квазигармонические колебания.
Введем комплексную низкочастотную функцию
5.2. Комплексное представление узкополосных сигналов
В теории линейных электрических цепей широко применяется метод комплексных амплитуд, согласно которому гармоническое колебание выражается как вещественная или мнимая часть комплексных функций:
называемую комплексной огибающей узкополосного сигнала. Легко непосредственно проверить, что

Комплексная огибающая узкополосных сигналов
Комплексная огибающая применительно к узкополосному сигналу играет ту же роль, что и комплексная амплитуда по отношению к простому гармоническому колебанию. Однако комплексная огибающая в общем случае зависит от времени - вектор Us(t) совершает на комплексной плоскости некоторое движение, изменяясь как по модулю, так и по направлению.

Спектр узкополосного сигнала
и его комплексной огибающей

Пример
Узкополосный сигнал s(t) при t < 0 и при
t > 0 является гармоническим колебанием; в момент времени t = 0 частота сигнала изменяется скачком:
Взяв в качестве опорной частоты получим следующее выражение для комплексной огибающей данного сигнала:
Выбор опорной частоты обычно диктуется удобством расчета. Так, например, комплексная огибающая рассматриваемого сигнала относительно опорной частоты
имеет более сложный вид:

5.3. Физическая огибающая, полная фаза
и мгновенная частота
Определим комплексную огибающую в показательной форме:.
Здесь Us(t) — вещественная неотрицательная функция времени, называемая физической огибающей (часто, для краткости, просто огибающей), — медленно изменяющаяся во времени начальная фаза узкополосного сигнала.
Величины связаны с синфазной и квадратурной амплитудами соотношениями
откуда вытекает еще одна полезная форма записи математической модели узкополосного сигнала:

Свойства физической огибающей
узкополосного сигнала
1. Определим физическую огибающую Us(t) через синфазную и квадратурную амплитуды:
2. Если вместо частоты взять некоторую частоту то сигнал s(t) должен быть представлен в виде
и новое значение комплексной огибающей
Однако при этом физическая огибающая, являющаяся модулем комплексной огибающей, останется неизменной, поскольку выражение имеет единичный модуль.
3. Свойство физической огибающей состоит в том, что в каждый момент времени | s(t)| < Ua(t).
Важность понятия огибающей обусловлена тем, что в радиотехнике широко используются специальные устройства — амплитудные детекторы (демодуляторы), способность точно воспроизводить огибающую узкополосного сигнала.

Пример
Узкополосный вещественный сигнал s(t) имеет при спектральную
плотность, несимметричную относительно частоты :
Спектральная плотность комплексной огибающей:
Используя обратное преобразование Фурье, находим комплексную огибающую
Несимметричная
плотность
Симметричная
плотность

Пример (продолжение)
Синфазную и квадратурную амплитуды вещественного сигнала найдем, выделив вещественную и мнимую части:
Физическая огибающая рассматриваемого сигнала
Мгновенная частота :
имеет наибольшее значение, равное в момент времени
t = 0.
Осциллограмма колебания s(t) представляет собой симметричный импульс
с непостоянной во времени частотой заполнения.

5.4. Аналитический сигнал

Аналитический сигнал

Аналитический сигнал

Определение частоты по исходному
и сопряжённому сигналам

Аналитический сигнал

5.5. Аналитический сигнал узкополосного процесса

Формирование аналитического сигнала, соответствующего заданному вещественному сигналу

Пример

5.6. Корреляционная функция аналитического сигнала

5.7. Дискретизация узкополосного сигнала