Различные способы решения квадратных уравнений

Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре различные задачи.
Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт.
У.У. Сойер

Урок одной задачи
Различные способы решения
квадратных уравнений

Цели:
- систематизировать различные способы решения квадратных уравнений, дать представление учащимся о важных вехах истории развития математики;
-обучать поискам нескольких способов решения одной задачи и умению выбирать из них наиболее оригинальный , оптимальный;
- развивать навыки работы с дополнительной литературой, историческим материалом, формировать интерес к изучению математики

Методы решения квадратных уравнений были известны ещё в давние времена. Их умели решать вавилоняне ( около 2 тыс. лет до н.э.). Об этом свидетельствуют найденные клинописные тексты задач с решениями в виде уравнений.
Также они излагались в вавилонских рукописях царя Хаммурапи.
Находки древности

В трудах древнегреческого математика Евклида и многих математиков древности квадратные уравнения решались геометрическим способом
Евклид

Для решения квадратных уравнений
поступали следующим образом.
х 2+10х =39
Пусть АВ =х, ВС=5, (10:2)
АС=АВ+ВС
Если
Число 3 является корнем уравнения, ведь отрицательных чисел тогда не знали

Аль - Хорезми
В трактате «Китаб аль-джебр валь-мукабала» хорезмский математик разъяснил приёмы решения уравнений ах2 = вх, ах2 = с и т.д
.( буквами а, в, с обозначены лишь положительные числа) и отыскивает лишь положительные корни

Так решал эту же задачу ал-Хорезми в 825году
Строим квадрат со стороной х и на его сторонах – 4 прямоугольника высотой
В углах фигуры построим 4 квадрата со стороной . Подсчитаем площадь получившегося большого квадрата:
По условию
Значит его сторона равна 8, тогда х=3
(Ал-Хорезми не признавал отрицательных чисел).
х 2+10х =39

Древнегреческий математик Диофант
3 век нашей эры
Пусть сумма двух чисел 20, а произведение 96. Предположим , что их разность 2z.
Большее из искомых чисел (z+10) , а меньшее (-10 –z)
Таким образом (10+z)(10-z)=96
z=2
Следовательно, большее число равно 12, а меньшее8
Не каждое уравнение
можно решить
данным методом

М. Штифель (1487-1567)
Общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к виду
х2 +bx = c, было сформулировано немецким математиком Штифелем. После трудов Рене Декарта и Исаака Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид, как для положительных корней, так и для отрицательных.
И. Ньютон(1643-1727)

Франсуа Виет(1540-1603)
Именно этим французским математиком впервые были введены буквенные обозначения. До этого пользовались громоздкими словесными формулировками.
Например: «Квадрат и число 24 равны одиннадцати корням» или x2 + 24 = 11x
Формулы, выражающие зависимость корней от его коэффициентов, были выведены Виетом в 1591г.

.
С 1591 г. мы пользуемся формулами
при решении квадратных уравнений
Вспомни алгебраический способ
решения квадратных уравнений.

ах2 + bх + с = 0
Выпишите коэффициенты a, b, c
Дискриминант
D = b2- 4ac
D > 0
D = 0
D < 0
Два корня
Х1, 2 = - b ±
Один корень
Х = - b
Уравнение
не имеет
действительных
корней
2а

Формулировка т. Виета. Обратная т. Виета. Зависимость знаков корней квадратного уравнения, от коэффициентов.

Если второй коэффициент уравнения чётный , можно использовать иную формулу – формулу чётных коэффициентов.

Квадратные уравнения можно решить, используя свойства «суммы коэффициентов»
ах2 + bх + с =0
Если в уравнении
то
то
Не каждое уравнение
можно решить
данным методом

В учебнике мы встречаем задания , где четко обозначено , как решить квадратное уравнение .
В предложенных задачах вы не только решите уравнение, но и узнаете интересные факты.

Задача №1
Известно, что учет населения проводился в Египте и в Китае ещё до нашей эры. Решив квадратное уравнение
вы определите, в каком это было тысячелетии до н.э.
Реши задачу разными способами

Задача №2
На основе статистических данных можно выделить регионы с максимальным сбросом загрязнённых вод: это Краснодарский край и Москва. Сколько процентов общего количества загрязнённых вод дают эти регионы, вы узнаете решив уравнение.
Реши задачу разными способами

Кислотные осадки разрушают сооружения из мрамора и других материалов. Исторические памятники Греции и Рима , постояв тысячелетия , за последние годы разрушаются прямо на глазах. «Мировой рекорд» принадлежит одному шотландскому городку , где 10 апреля 1974 г. Выпал дождь , скорее напоминающий столовый уксус , чем воду .Устно решите уравнения , найдите верный ответ и соответствующую ему букву и прочитаете название этого «знаменитого» города

Подведение итогов
Наш урок подходит к концу, подумайте о том с какой пользой для вас прошёл этот урок, начните свой ответ с любого из предложений:
Я знаю, что ...
Я хорошо знаю, что ...
Я должен знать, что ...

« Теория без практики
мертва и бесплодна,
практика без теории
невозможна и пагубна.
Для теории нужны знания,
для практики, сверх того,
и умение»
На уроке мы рассмотрели различные способы
Решения квадратных уравнений. Квадратные уравнения – это фундамент, на котором покоится алгебра.