Ранг матрицы

1. Определение ранга матрицы. Свойства ранга матрицы
Рангом матрицы называют наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля (обозначается r(А) или rangA).
Свойства ранга матрицы:
1) если матрица A имеет размеры mхn, то rangA≤min(m;n);
2) rangA=0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы A равны нулю;
3) если матрица A – квадратная порядка n, то rangA =n тогда и только тогда, когда |A|≠0.
назад

2. Способы нахождения ранга матрицы
Используя определение и свойства ранга матрицы
Используя свойство миноров
Используя элементарные преобразования
назад

Данный способ (используя определение и свойства ранга матрицы) удобно применять при нахождения ранга матрицы «небольшой» размерности.
Пример 1. Вычислить ранги следующих матриц
Решение
назад

Решение (Пример 1). Вычислить ранги следующих матриц
назад

Данный способ (используя свойство миноров) удобно применять при нахождения ранга матрицы с «большим количеством» нулевых элементов.
Свойство миноров. Если все миноры порядка k данной матрицы равны нулю, то все миноры более высокого порядка также равны нулю.
Метод: Если среди миноров порядка k данной матрицы есть отличные от нуля, а все миноры порядка (k+1) равны нулю или не существуют, то ранг матрицы равен k.
Пример 2. Вычислить ранги следующих матриц
РешениеРешение назад

Решение (Пример 2).
назад

Данный способ нахождения ранга матрицы (используя элементарные преобразования) удобно применять к матрице любой размерности.
Метод: с помощью элементарных преобразований свести матрицу к ступенчатому виду или квазитреугольной форме
где ≠0, i=1,…,r; r≤k, тогда ранг матрицы равен r.
Пример 3.
назад

Элементарные преобразования,
не меняющие ранга матрицы:
отбрасывание нулевой строки (столбца);
умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю;
изменение порядка строк (столбцов) матрицы;
прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число;
транспонирование матрицы.
назад

Пример 3. Найти ранг матрицы
С помощью элементарных преобразований приведем матрицу к ступенчатому виду:
далее

Отбрасываем нулевую строку:
назад

3. Теорема о ранге матрицы
Строки (столбцы) матрицы , называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что линейная комбинация строк матрицы равна нулевой строке:
. В противном случае строки матрицы называются линейно независимыми.
Теорема о ранге матрицы: ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов.
Пример 4.
назад

Пример 4. Найти максимальное число линейно независимых строк матрицы
С помощью элементарных преобразований приведем матрицу к ступенчатому виду:
далее

Отбрасываем нулевые строки:
Следовательно, по теореме о ранге матрицы исходная матрица имеет две линейно независимые строки (или столбца).
назад