РАСЧЁТ ФЕРМ

Если оси всех стержней и вся приложенная к ферме нагрузка расположены в одной плоскости, ферма называется плоской. В дальнейшем будем рассматривать только плоские фермы.
РАСЧЁТ ФЕРМ

РАСЧЁТ ФЕРМ
Примером плоской фермы может
служить стропильная ферма

РАСЧЁТ ФЕРМ
Другим примером плоской фермы могут служить конструкции железнодорожного моста

При проектировании и эксплуатации фермы соблю-даются следующие условия:
1. все стержни прямолинейны;
2. вес стержней пренебрежимо мал по
сравнению с эксплуатационной нагрузкой;
3. нагрузка прикладывается только к узлам
фермы.
РАСЧЁТ ФЕРМ

РАСЧЁТ ФЕРМ
Как видно, нагрузка на ферму передаётся через продольные прогоны, которые прикреплены к узлам фермы.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Эксплуатационная нагрузка через поперечные балки передаётся на узлы боковых ферм моста.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Эксплуатационная нагрузка через поперечные балки передаётся на узлы боковых ферм моста.

При соблюдении указанных условий усилиями, возни-кающими при изгибе стержней, можно пренебречь по сравнению с усилиями, возникающими при растяжении – сжатии.
Это упрощающее предположение положено в основу методов расчёта ферм.
РАСЧЁТ ФЕРМ

РАСЧЁТ ФЕРМ
В реальной ферме крепления стержней в узлах жёсткие. В расчётной схеме крепления стержней считают шарнирными, что связано с реализацией принятого упрощающего предположения о возможности пренебречь усилиями, возникающими при изгибе.

РАСЧЁТ ФЕРМ
При соблюдении оговорённых упрощающих условий каждый стержень фермы оказывается нагруженным силами, приложенными на концах стержня.

РАСЧЁТ ФЕРМ
При соблюдении оговорённых упрощающих условий каждый стержень фермы оказывается нагруженным силами, приложенными на концах стержня.
Силы, приложенные в одной точке можно заменить равнодействующей.

или
РАСЧЁТ ФЕРМ
При соблюдении оговорённых упрощающих условий каждый стержень фермы оказывается нагруженным силами, приложенными на концах стержня.
Силы, приложенные в одной точке можно заменить равнодействующей.
Усилие в стержне считается положительным, если он растянут
и отрицательным, если стержень сжат
В результате расчёта фермы необходимо определить реак-ции опор и найти усилия во всех стержнях фермы.
Методы расчёта ферм рас-смотрим на примере.

?
Метод вырезания узлов в некоторых случаях представ-
ляется неоправданно трудоёмким. Рассмотрим ферму.
Требуется определить усилие только в одном, выде-ленном на чертеже, стержне.
РАСЧЁТ ФЕРМ

Для определения искомой неизвестной необходимо со-ставить и решить систему, состоящую из 21-го уравне-ния. Три уравнения равновесия фермы в целом потребу-ются для определения опорных реакций.
Ещё 18 уравнений появятся, по мере рассмотрения рав-
новесия узлов при движении по кратчайшему пути от ле-
вого (неподвижного) шарнира к нужному нам стержню.
Понятно, что при решении системы, состоящей из 21-го уравнения, можно допустить ошибку.
РАСЧЁТ ФЕРМ

Чтобы убедиться в правильности полученного результа-та, необходимо составить проверочные уравнения. Для этого придётся продолжить рассмотрение равновесия уз-лов фермы.
В четырёх уравнениях, составленных для последних
двух узлов, будет только одна неизвестная величина –
усилие в последнем стержне. Оставшиеся три уравнения
должны выполняться тождественно, то есть выполняют
роль проверочных уравнений.
РАСЧЁТ ФЕРМ

Понятно, что результат проверки может быть разным. Возможны варианты.
Первый вариант
Второй вариант
РАСЧЁТ ФЕРМ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСИЛИЙ В СТЕРЖНЯХ ФЕРМЫ
МЕТОДОМ СКВОЗНЫХ СЕЧЕНИЙ
Метод сквозных сечений состоит в том, что ферма раз-
деляется сечением на две части и рассматривается рав-
новесие одной из этих частей. Сечение проводится через
стержень, в котором необходимо определить усилие.
РАСЧЁТ ФЕРМ

Метод сквозных сечений состоит в том, что ферма раз-
деляется сечением на две части и рассматривается рав-
новесие одной из этих частей. Сечение проводится через
стержень, в котором необходимо определить усилие.
РАСЧЁТ ФЕРМ

Можно рассмотреть равновесие любой из образовав-шихся частей фермы. Для рассматриваемой части «разрезанные» стержни служат опорами. Их реакции входят в систему внешних сил, приложенных к рассма-триваемой части фермы.
РАСЧЁТ ФЕРМ

РАСЧЁТ ФЕРМ
Можно рассмотреть равновесие любой из образовав-шихся частей фермы. Для рассматриваемой части «разрезанные» стержни служат опорами. Их реакции входят в систему внешних сил, приложенных к рассма-триваемой части фермы.

РАСЧЁТ ФЕРМ
Любая из частей фермы находится под действием плоской системы сил, для которой можно составить только три независимых уравнения равновесия. По этой причине сечение, по возможности, проводится через три стержня фермы.
Рассмотрим пример расчёта фермы при помощи мето-да сквозных сечений.

Найдём минимальное число N стержней, необходимое
для образования жёсткой конструкции, имеющей n узлов.
Простейшая жёсткая конструкция имеет три узла и три
стержня.
Для присоединения каждого из оставшихся n – 3
узлов необходимы два стержня.
Таким образом, получаем:
УСЛОВИЕ ЖЁСТКОСТИ ФЕРМЫ
N = 3 + 2 (n – 3) = 2 n – 3.
Если N < 2 n – 3, конструкция не бу-
дет жёсткой.
Рассмотрим
конструкцию
N = 4; n = 4,
следовательно,
N = 4 < 2n – 3 = 5.
РАСЧЁТ ФЕРМ

Найдём минимальное число N стержней, необходимое
для образования жёсткой конструкции, имеющей n узлов.
Простейшая жёсткая конструкция имеет три узла и три
стержня.
Для присоединения каждого из оставшихся n – 3
узлов необходимы два стержня.
Таким образом, получаем:
УСЛОВИЕ ЖЁСТКОСТИ ФЕРМЫ
N = 3 + 2 (n – 3) = 2 n – 3.
Если N < 2 n – 3, конструкция не бу-
дет жёсткой.
Рассмотрим
конструкцию
N = 4; n = 4,
следовательно,
N = 4 < 2n – 3 = 5.
РАСЧЁТ ФЕРМ

Найдём минимальное число N стержней, необходимое
для образования жёсткой конструкции, имеющей n узлов.
Простейшая жёсткая конструкция имеет три узла и три
стержня.
Для присоединения каждого из оставшихся n – 3
узлов необходимы два стержня.
Таким образом, получаем:
УСЛОВИЕ ЖЁСТКОСТИ ФЕРМЫ
N = 3 + 2 (n – 3) = 2 n – 3.
Если N < 2 n – 3, конструкция не бу-
дет жёсткой.
Рассмотрим
конструкцию
N = 4; n = 4,
следовательно,
N = 4 < 2n – 3 = 5.
РАСЧЁТ ФЕРМ

Найдём минимальное число N стержней, необходимое
для образования жёсткой конструкции, имеющей n узлов.
Простейшая жёсткая конструкция имеет три узла и три
стержня.
Для присоединения каждого из оставшихся n – 3
узлов необходимы два стержня.
Таким образом, получаем:
УСЛОВИЕ ЖЁСТКОСТИ ФЕРМЫ
N = 3 + 2 (n – 3) = 2 n – 3.
Если N < 2 n – 3, конструкция не бу-
дет жёсткой.
Рассмотрим
конструкцию
N = 4; n = 4,
следовательно,
N = 4 < 2n – 3 = 5.
РАСЧЁТ ФЕРМ

Найдём минимальное число N стержней, необходимое
для образования жёсткой конструкции, имеющей n узлов.
Простейшая жёсткая конструкция имеет три узла и три
стержня.
Для присоединения каждого из оставшихся n – 3
узлов необходимы два стержня.
Таким образом, получаем:
УСЛОВИЕ ЖЁСТКОСТИ ФЕРМЫ
N = 3 + 2 (n – 3) = 2 n – 3.
Если N < 2 n – 3, конструкция не бу-
дет жёсткой.
Рассмотрим
конструкцию
N = 4; n = 4,
следовательно,
N = 4 < 2n – 3 = 5.
РАСЧЁТ ФЕРМ

Найдём минимальное число N стержней, необходимое
для образования жёсткой конструкции, имеющей n узлов.
Простейшая жёсткая конструкция имеет три узла и три
стержня.
Для присоединения каждого из оставшихся n – 3
узлов необходимы два стержня.
Таким образом, получаем:
УСЛОВИЕ ЖЁСТКОСТИ ФЕРМЫ
N = 3 + 2 (n – 3) = 2 n – 3.
Если N < 2 n – 3, конструкция не бу-
дет жёсткой.
Рассмотрим
конструкцию
N = 4; n = 4,
следовательно,
N = 4 < 2n – 3 = 5.
РАСЧЁТ ФЕРМ

Найдём минимальное число N стержней, необходимое
для образования жёсткой конструкции, имеющей n узлов.
Простейшая жёсткая конструкция имеет три узла и три
стержня.
Для присоединения каждого из оставшихся n – 3
узлов необходимы два стержня.
Таким образом, получаем:
УСЛОВИЕ ЖЁСТКОСТИ ФЕРМЫ
N = 3 + 2 (n – 3) = 2 n – 3.
Если N < 2 n – 3, конструкция не бу-
дет жёсткой.
Рассмотрим
конструкцию
N = 4; n = 4,
следовательно,
N = 4 < 2n – 3 = 5.
РАСЧЁТ ФЕРМ

Найдём минимальное число N стержней, необходимое
для образования жёсткой конструкции, имеющей n узлов.
Простейшая жёсткая конструкция имеет три узла и три
стержня.
Для присоединения каждого из оставшихся n – 3
узлов необходимы два стержня.
Таким образом, получаем:
УСЛОВИЕ ЖЁСТКОСТИ ФЕРМЫ
N = 3 + 2 (n – 3) = 2 n – 3.
Если N < 2 n – 3, конструкция не бу-
дет жёсткой.
РАСЧЁТ ФЕРМ
Такая конструкция не является фермой – это механизм.
Как следует из формулы N = 2n – 3, для обеспечения
жёсткости конструкции необходимо при том же количестве узлов установить ещё один стержень.

Найдём минимальное число N стержней, необходимое
для образования жёсткой конструкции, имеющей n узлов.
Простейшая жёсткая конструкция имеет три узла и три
стержня.
Для присоединения каждого из оставшихся n – 3
узлов необходимы два стержня.
Таким образом, получаем:
УСЛОВИЕ ЖЁСТКОСТИ ФЕРМЫ
N = 3 + 2 (n – 3) = 2 n – 3.
Если N < 2 n – 3, конструкция не бу-
дет жёсткой.
РАСЧЁТ ФЕРМ

Найдём минимальное число N стержней, необходимое
для образования жёсткой конструкции, имеющей n узлов.
Простейшая жёсткая конструкция имеет три узла и три
стержня.
Для присоединения каждого из оставшихся n – 3
узлов необходимы два стержня.
Таким образом, получаем:
УСЛОВИЕ ЖЁСТКОСТИ ФЕРМЫ
N = 3 + 2 (n – 3) = 2 n – 3.
РАСЧЁТ ФЕРМ
Если N > 2n – 3, конструкция будет
жёсткой, но число неизвестных будет
больше числа уравнений равновесия,
в которые эти неизвестные входят.
N = 6 > 2n – 3 = 5. Конструкция будет жёст-кой, но наличие «лишнего» стержня, конеч-но, будет иметь некоторые последствия.

УСЛОВИЕ СТАТИЧЕСКОЙ ОПРЕДЕЛИМОСТИ ФЕРМЫ
Ферма называется статически определимой, если чис-
ло неизвестных равно числу уравнений равновесия, в ко-
торые эти неизвестные входят. Для фермы, имеющей n
узлов, можно составить 2n независимых уравнений рав-
новесия. В число неизвестных входят N усилий в стерж-
нях фермы и три составляющие реакций внешних опор. Таким образом, ферма будет статически определимой
при выолнении условия
N = 2n – 3,
которое, как видно, совпадает с условием жёсткости.
РАСЧЁТ ФЕРМ